专题07（A基础）柱体和锥体 -2021-2022学年高二数学秋季班精讲教案（沪教版2020必修第三册）

第7课：柱体和锥体 教学目标 1、理解多面体的定义，理解多面体的构成元素面、棱和顶点的定义； 2、理解棱柱、棱锥及其底面、侧面、侧棱、高的定义； 3、理解圆柱、圆锥及其底面、侧面、母线、高的定义； 4、理解祖暅原理，并能对该知识点进行解释和探究； 5、熟记柱体、椎体的体积公式、表面积公式，并能准确解决相应的数学问题； 重 点 1、理解祖暅原理，并能对该知识点进行解释和探究； 2、熟记柱体、锥体的体积公式，并能准确解决相应的数学问题； 3、熟记圆锥的表面积公式，会用侧面展开图的思想去求相应柱体的侧面积. 难 点 理解祖暅原理，并能对该知识点进行解释和探究； （一）棱柱与圆柱 知识梳理 1、多面体 定义：由三角形或（平面多边形）围成的封闭几何体称为多面体； 构成多面体表面的各三角形或平面多边形称为多面体的面； 相邻面的公共边称为多面体的棱； 棱与棱的交点称为多面体的顶点。 2、棱柱 定义：有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都互相平行，我们把这样的多面体叫做棱柱. 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱 棱柱常用表示两底面多边形的记号（顶点相应排列）再用短横连接来记．例如，图三棱柱1可记为棱柱，六棱柱3可记为棱柱． 通常又可按照棱柱底面的多边形的边数把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等．例如，图（1）是三棱柱，又因为它的侧棱不垂直于底面，所以是斜三棱柱；（2）是四棱柱，又因为侧棱垂直于底面，所以是直四棱柱；（3）的底面是正六边形，侧棱又垂直于底面，所以是正六棱柱． 【知识补充】 ①底面是平行四边形的棱柱有六个面，且六个面都是平行四边形，该棱柱叫做平行六面体。 ②{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}； ③{直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}. 3、圆柱 定义：将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱， 所在直线叫做该圆柱的轴， 线段和分别旋转而成的圆面叫做该圆柱的底面， 线段旋转而成的曲面叫做该圆柱的侧面， 叫做该圆柱的母线， 圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高． 根据圆柱的形成过程易知： ①圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行； ②圆柱有两个相互平行的底面. 棱柱和圆柱统称为柱体. 例题精讲 【例1】（1）下列命题正确的是（ ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱都相等 C．由六个大小一样的正方形组成的图形是正方体的展开图 D．棱柱的侧棱总与底面垂直 【难度】★★ 【答案】B 【解析】A选项，棱柱的侧面不一定是矩形，A错误. B选项，棱柱的侧棱都相等，B正确. C选项，六个大小一样的正方形必须以一定顺序排列，才能形成正方体的展开图，C错误. D选项，棱柱的侧棱不一定与底面垂直，D错误. 故选：B （2）“有一侧棱与底面两边垂直的棱柱”是“该棱柱为直棱柱”的（ ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【难度】★★ 【答案】B 【解析】若侧棱与底面两条平行的两边垂直，则侧棱与底面不一定垂直，此时的棱柱不一定是直棱柱，故充分性不成立； 若棱柱为直棱柱，可知侧棱垂直于底面，即侧棱垂直于底面的任意条线，故必要性成立， 所以“有一侧棱与底面两边垂直的棱柱”是“该棱柱为直棱柱”的必要非充分条件，故选：B 【例2】如图，几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ） A． B．C． D． 【难度】★★ 【答案】A 【解析】当截面不过旋转轴时﹐截面图形如选项A所示．故选：A． 【例3】一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径是10，水面宽是16，则截面水深是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【难度】★★ 【答案】B 【解析】由题意知，交于点，∵，∴， 在中，∵，，∴，∴． 故选：B． 【例4】如图所示，长方体中，，，，在长方体表面上由A到的最短距离是________. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面可有三种不同的方法展开，如图所示． ， AB＝3，BC＝2，BB1＝1． 表面展开后，依第一个图形展开，AC1． 依第二个图形展开，AC1．依第三个图形展开，AC1． 三者比较，得A点沿长方形表面到C1的最短距离为．故答案为：． 巩固训练 1、如图，长方体被两平面分成三部分，其中，则这三个几何体中是棱柱的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】长方体被两平面分成三部分，其中，其中两个三棱柱，底面是直角三角形；另一个是底面为