专题04（A基础）平面与平面的位置关系 -2021-2022学年高二数学秋季班精讲教案（沪教版2020必修第三册）

第4课：平面与平面的位置关系 教学目标 1．掌握平面与平面平行的定义、判定定理和性质定理，并能运用这些知识进行论证或解题，（附加平面与平面垂直）； 2．掌握求二面角平面角的方法：定义法，三垂线定理法和垂面法． 重 点 1．理解线线平行、线面平行、面面平行之间的转化以及平行与垂直之间的转化的辩证关系； 2．体会求二面角的过程就是将空间的角转化为平面上的角的“化归”思想． 难 点 1．理解线线平行、线面平行、面面平行之间的转化以及平行与垂直之间的转化的辩证关系； 2．体会求二面角的过程就是将空间的角转化为平面上的角的“化归”思想 （一）平面与平面平行 知识梳理 1、平面与平面位置关系 位置关系 定义 符号表示 平行 平面与平面没有公共点 ∥ 相交 平面与平面有且仅有一条公共直线 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 两个平面平行的判定定理 若一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 图形语言： 符号语言：且，那么 3、两个平面平行的性质定理 定理 如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 图形语言： 符号语言：若，，则 4、两个平面之间的距离 设平面平行与平面，在平面上任取一点M，我们把点M到平面的距离叫做平面平行和平面之间的距离 5、几个重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行 （2）如果两个平面平行，那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另外一个平面 （4）夹在两个平行平面中的平行线段相等 （5）经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行 注：①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行，把条件改成“一条”、“两条”、“无数条”都不一定成立 ②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面，但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行 例题精讲 【例1】两个平面重合的条件是它们的公共部分有　　 A．两个点 B．一条直线与一个点 C．三个点 D．两条平行直线 【难度】★★ 【答案】D 【解析】因为过不共线的三点可确定唯一平面， 选项只有两个点， 选项应该改为直线和直线外一点， 选项应该改为不共线的三个点， 选项两条平行直线可确定唯一平面， 故选：． 【例2】(1)设，表示不同的直线，，表示不同的平面，且，．则“”是“且”的　　 A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【难度】★★ 【答案】A 【解析】当 时，因为，，故能推出且，故充分性成立． 当且 时，，，若，是两条相交直线，则能推出，若，不是两条相交直线，则与 可能相交， 故不能推出，故必要性不成立． 故选：． (2)已知，为两条不重合直线，，为两个不重合平面，下列条件中，可以作为的充分条件的是　　 A.，， B．，， C．，， D．，， 【难度】★★ 【答案】 【解析】由题意知，，且，，则． 故选：． 【例3】如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证： （1）AP⊥MN； （2）平面MNP∥平面A1BD. 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】（1）连结BC1、B1C，则B1C⊥BC1，BC1是AP在面BB1C1C上的射影.∴AP⊥B1C.又B1C∥MN，∴AP⊥MN. （2）连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN不在平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N，∴平面PMN∥平面A1BD. 【例4】如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点． （1）求异面直线和的成角大小； （2）求证：平面平面． 【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】（1）解：连接，因为为中点，故与的交点为，且， 又平面，平面， 所以，又， 所以平面，又， 所以，在正方体中，， 所以， 所以异面直线和所成角的大小为． （2）证明：连接， ，分别是、的中点，， 又平面，平面， 平面， 又直线平面，且直线平面，直线平面， ， 平面平面． 【例5】如图所示，是三角形所在平面外一点，平面平面，分别交线段、、于、、，若， （1）证明: (2)求的值 【难度】★★★ 【答案】(1)见解析(2) 【解析】由题意：平面平面， ，，， 三角相似于三角形，三角形相似于三角形，三角形相似于三角形， ，， ， ， 故得：． ． 又， ， ， 所以得：． 【例6】（1