专题02（A基础）直线与直线的位置关系-2021-2022学年高二数学秋季班精讲教案（沪教版2020必修第三册）

第2课：直线与直线的位置关系 教学目标 1、掌握公理4和等角定理及其推论，并能够运用其进行相应题目的证明； 2、掌握异面直线的定义，能够运用异面直线判定定理对问题进行证明． 3、掌握异面直线所成角的定义及其范围，并会求异面直线所成角. 重 点 1、公理4，顶角定理及其推论； 2、异面直线定义及异面直线判定定理； 3、异面直线所成角及所成角的求解方法. 难 点 1、异面直线判定定理的运用和反证法证明异面直线； 2、求异面直线所成角. （一）空间的平行直线 【知识梳理】 1、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号语言表示：． 2、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 证明如下： 在射线、上分别取点，使得，在射线、上分别取点，使得，又，，所以四边形和四边形都是平行四边形，则,所以,所以.即证. 推论1:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补. 推论2:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． 【例题精讲】 【例1】在空间平行于同一直线的两条直线的位置关系是_______________． 【难度】★ 【答案】平行 【解析】解：根据平行公理可知：在空间平行于同一直线的两条直线的位置关系是平行的． 故答案为：平行． 【例2】对角线互相垂直的空间四边形各边中点分别为、、、，则四边形是_____________． 【难度】★★ 【答案】矩形 【解析】解：如图所示．点、、、分别是四条边的中点， ，，四边形是平行四边形．又，， ，平行四边形是矩形．故答案为：矩形． 【例3】空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角　　 A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定 【难度】★★ 【答案】 【解析】解：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等； 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且一组边方向相同、一组边方向相反，那么这两个角互补； 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相反，那么这两个角相等． 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 故选：． 【例4】如图所示，不共面的三条直线交于点，在点的同侧上分别取点和，和，和，使得，求证：△． 【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】证明：如图，，，． 同理，，，根据等角定理可以得出． △． 【巩固训练】 1、若，，则有　　 A． B． C．或 D． 【答案】 【解析】解：若，，则有或，故选：． 2、如图，已知、分别是正方体的棱和棱上的中点，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】证明：取棱中点为，连、，由正方体性质，侧面为正方形， 又、分别为边、中点，所以，， 从而四边形为平行四边形，，， 又、分别为棱、中点，由侧面为正方形，知四边形 为平行四边形， 所以，，又，，由平行公理可知，， 从而四边形为平行四边形．由为正方体，不妨设其棱长为，易 知而由四边形为平行四边形，从而即为菱形． 3、如图，和△的对应顶点的连线，，交于同一点，且． （1）求证：，，； （2）求的值． 【答案】见解析 【解析】（1）证明：，且，， ，且，， ，且，． （2）解：，，且和、和方向相反， ，同理，，， △，，． （二）异面直线 【知识梳理】 1、异面直线： 不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线． 2、①空间的两条直线的位置关系： 位置关系 是否共面 是否有公共点 相交 是 是 平行 是 否 异面 否 否 ②异面直线画法： 3、异面直线判定定理 过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条给定的直线都是异面直线. 证明如下： 已知直线在平面上，点不在平面上.直线与平面交于点，点在平面上但不在直线上.求证：直线和是异面直线. 证明：假设存在一个平面，使得直线与均在平面上，那么平面一定经过点和直线；因为，由公理2推理1可知，经过点和直线有且只有一个平面，也就是平面,从而平面与平面是同一个平面，这样点就应该在平面上，与假设相矛盾！所以直线和是异面直线. 【例题精讲】 【例5】两条异面直线指的是　　 A．不同在任何一个平面内的两条直线 B．在空间内不相交的两条直线 C．分别位于两个不同平面内的直线 D．某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 【难度】★★ 【答案】 【解析】解：根据异面直线的定义， 对于：符合定义，故正确； 对于：在空间不相交的直线但是可能平行，故错误； 对于：可能是平行直线，故错误； 对于：可能经过经过直线与平面的交点，故错误． 故选：． 【例6】如图所示，、、、分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直