专题强化练习04 最值问题(将军饮马模型)精准提优-【多维练】2021-2022学年八年级数学上学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)

专题强化练习04 最值问题—将军饮马模型 【名题展示1】 几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB＝A′B的值最小（不必证明）． 模型应用： （1）如图2，角是大家喜爱的一种轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是对称轴．现在有∠AOC＝90°，OA＝3，OB＝4，P为∠AOC的角平分线上一动点，请求出AP+PB的最小值． （2）①如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，请直接写出△PQR周长的最小值　10　． ②如图，∠AOB＝20°，点M．N分别在边OA、OB上，且OM＝ON＝2，点P，Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是　2　． 【分析】（1）∠AOC的平分线为OD，作AA′⊥OD交OC于A′，连接BA′交OD于P，连接PA，如图2，利用题中模型得到PA+PB最短，此时PA+PB＝BA′，利用对称的性质得到OA′＝OA＝3，然后利用勾股定理计算出BA′即可； （2）①作点P关于OB的对称点P′，点P关于OA的对称点P″，连接P′P″交OB于R，交OA于Q，连接PR、PQ，如图3，利用对称的性质得到△PQR周长＝P′P″，根据两点之间线段最短可判断此时△PQR周长最小，最小值为P′P″的长，再证明△P′OP″为等边三角形得到P′P″＝OP′＝OP＝10，从而得到△PQR周长的最小值； ②作点M关于OB的对称点M′，点N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OB于P，交OA于Q，连接PM、NQ，如图4，同样方法判断此时MP+PQ+QN的值最小，最小值为M′N′，再证明△M′ON′为等边三角形得到M′N′＝OM′＝2，从而得到MP+PQ+QN的最小值． 【详解】解：（1）∠AOC的平分线为OD，作AA′⊥OD交OC于A′，连接BA′交OD于P，连接PA，如图2，则PA+PB最短，此时PA+PB＝BA′， ∵OD平分∠AOC，AA′⊥OD， ∴OA′＝OA＝3， 在Rt△OBA′中，BA′＝＝5， 即AP+PB的最小值为5； （2）①作点P关于OB的对称点P′，点P关于OA的对称点P″，连接P′P″交OB于R，交OA于Q，连接PR、PQ，如图3， 则OP＝OP′，OP＝OP″，RP＝RP′，QP＝QP″， ∴△PQR周长＝PR+RQ+PQ＝RP′+RQ+QP″＝P′P″， ∴此时△PQR周长最小，最小值为P′P″的长， ∵OP＝OP′，OP＝OP″，PP′⊥OB，PP″⊥OA， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠P′OP″＝∠1+∠2+∠3+∠4＝2∠2+2∠3＝2∠BOA＝60°， ∴△P′OP″为等边三角形， ∴P′P″＝OP′＝OP＝10， 即△PQR周长的最小值为10； ②作点M关于OB的对称点M′，点N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OB于P，交OA于Q，连接PM、NQ，如图4， 则OM＝OM′＝2，ON＝ON′＝2，PM＝PM′，QN＝QN′， ∴MP+PQ+QN＝PM′+PQ+QN′＝M′N′， ∴此时MP+PQ+QN的值最小，最小值为M′N′， ∵OM＝OM′，ON＝ON′，MM′⊥OB，NN′⊥OA， ∴∠M′OB＝∠AOB＝20°，∠N′OA＝∠AOB＝20°， ∴∠M′ON′＝60°， ∴△M′ON′为等边三角形， ∴M′N′＝OM′＝2， 即MP+PQ+QN的值最小为2． 故答案为10，2． 【名题展示2】 作图题： （1）如图1，一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线． （2）如图2，直线l是一条河，A、B是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站M，向A、B两地供水，要使所需管道MA+MB的长度最短，在图中标出M点． （3）如图3，在一条河的两岸有A，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示．试问：桥CD建在何处，才能使A到B的路程最短呢？请在图中画出桥CD的位置．画出示意图，并用平移的原理说明理由． 【分析】（1）把河岸看做一条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题． （2）根据两点之间线段最短详解． （3）先确定AA′＝CD，且AA′∥CD，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置． 【详解】解：（1）如图1． （2）如图2． （3）如图3，先确定AA′＝CD，且AA′∥CD，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置． 理由：由作图过程可知，四