专题强化练习03 轴对称图形—综合题(拔尖)-【多维练】2021-2022学年八年级数学上学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)

专题强化练习03 轴对称图形—综合题（拔尖） 1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连接PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【分析】根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质详解即可． 【详解】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2， 以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3， 边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置， 因此出现等腰三角形的点P的位置有4个， 故选：C． 2．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿DE折叠，使底角顶点C落在三角形三边的垂直平分线的交点O处，若BE＝BO，则∠ABC的度数为（　　） A．54° B．60° C．63° D．72° 【分析】首先连接OC，设∠OCE＝x°，由折叠的性质易得：∠COE＝∠OCE＝x°，又由三角形三边的垂直平分线的交于点O，可得OB＝OC，且O是△ABC外接圆的圆心，然后利用等边对等角与三角形外角的性质，可用x表示出∠OBC、∠BOE，∠OEB的度数，又由三角形内角和定理，可得方程x+2x+2x＝180，解此方程求得∠OCE的度数，继而求得∠ABC的度数． 【详解】解：连接OC， 设∠OCE＝x°， 由折叠的性质可得：OE＝CE， ∴∠COE＝∠OCE＝x°， ∵三角形三边的垂直平分线的交于点O， ∴OB＝OC，且O是△ABC外接圆的圆心， ∴∠OBC＝∠OCE＝x°，∠BOC＝2∠A， ∵∠OEB＝∠OCE+∠COE＝2x°，BE＝BO， ∴∠BOE＝∠OEB＝2x°， ∵△OBE中，∠OBC+∠BOE+∠OEB＝180°， ∴x+2x+2x＝180， 解得：x＝36， ∴∠OBC＝∠OCE＝36°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCE＝108°， ∴∠A＝∠BOC＝54°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝＝63°． 故选：C． 3．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解； ②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断； ③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形； ④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP． 【详解】解：①如图1，连接OB， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30° ∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°； 故①正确； ②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∵点O是线段AD上一点， ∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等， 故②不正确； ③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°， ∴∠APC+∠DCP＝150°， ∵∠APO+∠DCO＝30°， ∴∠OPC+∠OCP＝120°， ∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°， ∵OP＝OC， ∴△OPC是等边三角形； 故③正确； ④如图2，在AC上截取AE＝PA，连接PE， ∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA， ∴∠APO+∠OPE＝60°， ∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°， ∴∠APO＝∠CPE， ∵OP＝CP， 在△OPA和△CPE中， ， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO＝CE， ∴AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP； 故④正确； 本题正确的结论有：①③④ 故选：A． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D＝∠DBC＝60°，若BD＝5cm，DE＝3cm，则BC的长是　8　cm． 【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案． 【详解】解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N， ∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AN⊥BC，BN＝CN， ∵∠DBC＝∠D＝