专题强化练习01 轴对称图形—证明题(基础)-【多维练】2021-2022学年八年级数学上学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)

专题强化练习01 轴对称图形— 证明题（基础） 1．如图，在△ABC中，∠C＝90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数． 【分析】利用线段垂直平分线的性质计算． 【详解】解：已知DE垂直且平分AB⇒AE＝BE⇒∠EAB＝∠B 又因为∠CAE＝∠B+30° 故∠CAE＝∠B+30°＝90°﹣2∠B⇒∠B＝20° ∴∠AEB＝180°﹣20°×2＝140°． 2．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D． （1）求∠ADC的度数； （2）求证：DC＝2DB． 【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠B，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝BD，根据等边对等角可得∠BAD＝∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）根据三角形的内角和得到∠DAC＝90°，根据直角三角形的性质得到AD＝CD，∠BAD＝30°，求得∠B＝∠BAD，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣120°）＝30°， ∵AB的垂直平分线交BC于点D． ∴AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝30°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°+30°＝60°； （2）∵∠ADC＝60°，∠C＝30°， ∴∠DAC＝90°， ∴AD＝CD，∠BAD＝30°， ∴∠B＝∠BAD， ∴BD＝AD， ∴DC＝2DB． 3．如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D． （1）求证AD＝ED； （2）若AC＝AB，DE＝3，求AC的长． 【分析】（1）由AE是∠BAC的角平分线可得∠DAE＝∠BAE，由DE∥AB，可得∠DEA＝∠EAB，则∠DEA＝∠DAE，可得结论． （2）根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，可证∠C＝∠CED则CD＝DE，即可求AC的长． 【详解】证明：（1）∵AE是∠BAC的角平分线 ∴∠DAE＝∠BAE ∵DE∥AB ∴∠DEA＝∠EAB ∴∠DAE＝∠DEA ∴AD＝DE （2）∵AB＝AC，AE是∠BAC的角平分线 ∴AE⊥BC ∴∠C+∠CAE＝90°，∠CED+∠DEA＝90° ∴∠C＝∠CED ∴DE＝CD且DE＝3 ∴AD＝DE＝CD＝3 ∴AC＝6 4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC于D，E为AC的中点，AB＝6，求DE的长． 【分析】由条件可知DE为△ABC的中位线，由中位线性质定理可得DE的长． 【详解】解： ∵∠B＝∠C， ∴△ABC为等腰三角形， ∵AD⊥BC， ∴D为BC的中点， ∵E为AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE＝AB＝×6＝3． 解法二：∵∠B＝∠C， ∴△ABC为等腰三角形， ∵AB＝AC＝6，AD⊥BC， ∴E为AC的中点， ∴DE＝12AC＝12×6＝3． 5．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线MN分别交AB，AC于D，E．若AE＝5，△BCD的周长为17，求△ABC的周长． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝10，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵MN是线段AC的垂直平分线， ∴DA＝DC，AC＝2AE＝10， ∵△BCD的周长为17， ∴BD+BC+CD＝17， ∴BD+BC+AD＝17， ∴BC+AB＝17， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝27． 6．用一条长为18的绳子围成一个等腰三角形． （1）若等腰三角形有一条边长为4，它的其它两边是多少？ （2）若等腰三角形的三边长都为整数，请直接写出所有能围成的等腰三角形的腰长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求出答案． （2）设等腰三角形的三边长为x、x、y，根据题意可知y＜9，y是2的倍数，从而可求出答案． 【详解】解：（1）当等腰三角形的腰长为4， ∴底边长为18﹣4×2＝10， ∵4+4＜10， ∴4、4、10不能组成三角形， 当等腰三角形的底边长为4， ∴腰长为（18﹣4）÷2＝7， ∵4+7＞7， ∴4、7、7能组成三角形， 综上所述，其他两边分别为7和7． （2）设等腰三角形的三边长为x、x、y， 由题意可知：2x+y＝18， 且2x＞y， ∴y＜9， ∵x＝＝9﹣，x与y都是整数， ∴y是2的倍数， ∴y＝2时，x＝8， y＝4时，x＝7， y＝6时，x＝6 y＝8时，x＝5． 7．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E． （1）若BC＝5，求△ADE的周长． （2）若∠BAD+∠CAE＝60°，求∠BAC的度数． 【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的性质得出答案； （2）利用∠BAD+∠CA