专题15 函数与导数解答题-2022年新高考数学模拟题分项汇编(第三期)

专题15 函数与导数解答题 1．（2021·山东省实验中学高三月考）已知函数 . （1）求函数 的单调区间和极值； （2）若方程 有两个不同的解，求实数a的取值范围. 【答案】（1）单增区间是 ，单减区间是 ，极小值 ，无极大值；（2） . 【解析】 （1） 的定义域是 ， ， 可得 ， x -2 0 减函数 极小值 增函数 所以 的单增区间是 ，单减区间是 当 时， 取得极小值 ，无极大值. （2）由（1）以及当 ， ， ， ， ， 因为方程 有两个不同的解， 所以a的取值范围为 . 2．（2021·福建莆田二中高三月考）已知函数 在 与 处都取得极值． （1）求 ， 的值； （2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ， ；（2） ． 【解析】 （1）由题设， ，又 ， ，解得 ， ． （2）由 ，知 ，即 ， 当 时， ， 随 的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， ∴当 时， 为极大值，又 ，则 为 在 上的最大值， 要使 对任意 恒成立，则只需 ，解得 或 ， ∴实数 的取值范围为 ． 3．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知函数 . （I）求函数 的解析式及定义域； （II）若 恒成立，求实数 的最小值. 【答案】（I） 定义域为 ；（II）1. 【解析】 （I）令 ， 即 定义域为 （II）令 令 ，由二次函数知识，该二次函数开口向上，对称轴 ，而1离对称轴更远，故最大值在 取得，即 ， ，故实数 的最小值为1. 4．（2021·山东新泰市第一中学高三月考）2021年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并日出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形垫依饮艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.在日常防护中，口罩是必不可少的防护用品.某口罩生产厂家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模.已知该厂生产口罩的固定成本为 万元，每生产x万箱，需另投入成本 万元，当年产量不足 万箱时， ；当年产量不低于 万箱时， ，若每万箱口罩售价 万元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当年可以全部销售完. （1）求年利润 （万元）关于年产量 （万箱）的函数关系式； （2）求年产量为多少万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大.（注： ） 【答案】（1） ；（2）当年产量为 万箱时，该口罩生产厂所获得年利润最大. 【解析】 依题意，当 时， ， 当 时， 所以所求的函数关系式是： ； 当 时， ，即当 时， 取最大值，最大值为 万元， 当 时， ， 当 时， ，当 时， ，即 在 上单调递增，在 上单调递减， 则当 时， 取得最大值，且 (万元)， 而 ，于是得 的最大值是 ，此时 ， 所以，当年产量为 万箱时，该口罩生产厂所获得年利润最大，年最大利润为 万元. 5．（2021·辽宁省盘锦市高级中学高三月考）已知函数 . （1）判断 的奇偶性，并用单调性定义证明 在 上单调递增； （2）若 ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2） . 【解析】 （1）由题意可知 的定义域为R， ，则 ， ， 所以 = ， 所以函数 为偶函数； （2）任取 ， 则 = - = ， 因为 = = ， 当 ， ， ， 所以 在 上单调递增. 设 ，则t≥2， 所以原命题等价于当t≥2时，不等式 恒成立， 令 = ，即 ， 则 或 ，解得 或 ， 综上可知 . 6．（2021·江苏苏州高三月考）已知函数 在 处的切线与 轴垂直. （1）求 的值； （2）判断 在 上零点的个数，并说明理由. 【答案】（1） ；（2）有且只有一个零点，理由见解析. 【解析】 （1） ，所以 ，所以 ； （2）由 ，可得 ， 令 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 ①当 时， ， ，所以 ，所以 在 上单调递增，又因为 ，所以 在 上无零点； ②当 时，令 ，所以 ，即 在 上单调递减，又因为 ， ，所以存在 ，使得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减.因为 ， ，所以 在 上且只有一个零点；综上所述： 在 上有且只有一个零点. 7．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）已知函数 （1）讨论函数 的单调性； （2）当 时，求使 在区间 上恒成立的 的所有值. 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2） . 【解析】 （1）由题意得 ， ①当 时， ，则 在区间 上单调递增； ②当 时，令 ，解得