专题14 三角函数及解三角形解答题-2022年新高考数学模拟题分项汇编(第三期)

专题14 三角函数及解三角形解答题 1．（2021·福建南平高三月考）如图，在 中， 是 边上一点， ， ， . （1）求角 的大小； （2）若 ，求 和 . 【答案】（1） ；（2） ， . 【解析】 （1）在 中，因为 ， ， ， 所以 . 因为 ，所以 . （2）因为 ， ，所以 . 在 中，由余弦定理： ，得 . 由正弦定理 ，解得： . 2．（2021·广东省广州市第一中学高三月考）在 ，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ． （1）求a的值； （2）求 的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 （1）由 ，所以 ． （2）由 可得， ，所以 ，所以， ， ， ， 所以 ． 3．（2021·江苏苏州中学高三月考）已知函数 只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数 的最大值为2；②函数 的图象可由 的图象平移得到；③函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 . （1）请写出这两个条件序号，说明理由，并求出 的解析式； （2）求方程 在区间 上所有解的和. 【答案】(1) 满足的条件为①③， ；（2） 【解析】 （1）函数 满足的条件为①③； 理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾， 故③为函数 满足的条件之一， 由③可知， ，所以 ，故②不合题意， 所以函数 满足的条件为①③； 由①可知 ，所以 ； （2）因为 ，所以 ， 所以 或 ， 所以 或 ， 又因为 ，所以x的取值为 所以方程 在区间 上所有的解的和为 . 4．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）记 的内角 的对边分别为 ．请在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题． ① ；② （其中 为 的面积）；③ ． （1）若 ，求 的值； （2）若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围． 【答案】条件选择见解析，（1） ；（2） ． 【解析】 选择① 由正弦定理得 ，所以 ， ，则 ； 选择② ，则 ，所以 ，又 ，则 ； 选择③ ，由正弦定理得 又因为 ， 所以 ，则所以 ，又 ，则 ； 故选择①②③均得到 ； （1）若 ，由余弦定理得 ， 即 ，∴ ． （2）由 为锐角三角形及 ， 得 且 ,∴ ， 由正弦定理得 ， ∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，即所求 的取值范围是 ． 5．（2021·山东菏泽高三月考）在 中， ， ，在 的右侧取点 ，构成平面四边形 ． （1）若 且 ，求 面积的最大值； （2）若 ，当四边形 的面积最大时，求对角线 的长． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）在 中，由余弦定理得： ， 则在 中， 即 故 当且仅当 时，等号成立 故 面积的最大值为 （2）取 ， 则在 中， 在 中， 即 取四边形 的面积为 ， 则有 即 得： 即 则当 时， ， 此时 ，则 故 即对角线 为 ． 6．（2021·重庆市实验中学高三质检）已知 ，且 ， ． （1）求 的值； （2）求 的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 （1） ， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ； （2） ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ； ， ， . 7．（2021·重庆市七中高三月考）已知 . （I）化简 ； （II）若 ，且 是第二象限角，求 的值. 【答案】（I） ；（II） . 【解析】 （I）原式 ； （II）若 ，且 是第二象限角， 所以 ， 所以 ， ， 所以 ， . 8．（2021·广东省深圳市中学高三月考）在 中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，且 . （1）求角A的值； （2）若 的面积为 ，且 ，求 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）由正弦定理： ，又由已知 ，可得： ，即 ， 则 又因为 所以 （2） ，即 ，则 ， 在 中，由余弦定理得： 则 ，即 所以 . 9．（2021·广东广雅中学高三月考）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 的面积 . （1）求边b的最小值； （2）若 ，求 的面积. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）∵ ，则由三角形面积公式 ， 由正弦定理： ，即b的最小值为 . （2）由正弦定理， ， 由余弦定理： ， 联立方程解得：a=8，所以三角形面积 . 10．（2021·广东茂名高三月考）在矩形ABCD所在平面内，E为矩形ABCD外一点，且 ， ， ． （1）若 ，求 的长度； （2）若 （ 为钝角），当多边形 的面积最大时，求 的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 （1）在三角形 中，根据正弦定理得， ． ∵ ，∴ ，∴ ， 则 ，∴ ． （2）因为 是钝角，所以点 在以 为直径