专题13 平面解析几何解答题-2022年新高考数学模拟题分项汇编(第三期)

专题13 平面解析几何解答题 1．（2021·湖南湘潭高三一模）已知圆锥曲线 上的点 的坐标 满足 ． （1）说明 是什么图形，并写出其标准方程； （2）若斜率为1的直线 与 交于 轴右侧不同的两点 ， ，点 为 ． ①求直线 在 轴上的截距的取值范围； ②求证： 的平分线总垂直于 轴． 【答案】（1） 是以 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆，标准方程为 ；（2）① ；②证明见解析． 【解析】 （1）圆锥曲线 是以 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆， 其标准方程为 ； （2）①设直线 ： ， ， ， 由 ，消去 ，得 ， 由题意，有 ，解得 ， 所以直线 在 轴上的截距的取值范围为 ； ②因为点 在椭圆上，若直线 过点 ，即点 （或点 ）与 重合， 则 与 的另一个交点为 ，不合题意，所以点 （或点 ）与 不重合； 若 或 的斜率不存在，则直线 过点 ，此时， 与 只有一个交点， 所以 与 的斜率都存在， 设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，因为 ， 在轴的右侧，结合图象，可知， 要证 的平分线总垂直于 轴，只要证 ， 因为 ， ，也即证： ， 而 成立， 故 的平分线总垂直于 轴． 2．（2021·湖南师大附中高三月考）在平面直角坐标系 中，已知 ，动点 到直线 的距离等于 .动点 的轨迹记为曲线 . （1）求曲线 的方程； （2）已知 ，过点 的动直线 与曲线 交于 ， 两点，记 和 的面积分别为 和 ，求 的最大值. 【答案】（1） ；（2）最大值为3. 【解析】 （1）设点 ， 当 时， 到直线 的距离显然小于 ，故不满足题意； 故 （ ），即 ， 整理得 ，即 ， 故曲线 的方程为 ； （2）由题意可知直线 的斜率不为0， 则可设直线 的方程为 ， ， ， 联立 ，整理得 ， 显然成立， 所以 ， ， 所以 ， 故 ， 设 ， ，则 ， 则 ， 因为 ，所以 （当且仅当 时，等号成立）. 故 ， 即 的最大值为3. 3．（2021·江苏省如皋中学高三月考）己知抛物线 ，过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交抛物线 于 两点， 交抛物线 于 两点，当点 的横坐标为1时，抛物线 在点 处的切线斜率为 . （1）求抛物线 的标准方程； （2）已知 为坐标原点，线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，求证：直线 过定点. 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】 （1）由 可化为 ，则 . 当A的横坐标为1时，抛物线C在A处的切线斜率为 ， ∴ ，即 ， ∴抛物线C的标准方程为 . （2）由（1）知：点T坐标为(0,2)， 由题意知，直线 和 斜率都存在且均不为0，设直线 为 ， 由 ，联立消去y并整理得 ， ， 设 ， ，则 ， ， ∴ ，又M为AB中点，则 ， ∵ ，N为EF中点，则直线 为 ，联立抛物线可得 ， ∴ ， ，则 ∴ ， ∴直线MN为 ，整理得 ， ∴直线MN恒过定点(0,4). 4．（2021·江苏南京市中华中学高三月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，右顶点A(2，0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为 . (1)求椭圆C的标准方程； (2)若M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设P(-4，0)，连接PM交椭圆C于另一点E.求证：直线NE过定点B，并求出点B的坐标. 【答案】(1) ；(2)证明见解析，定点B(-1，0). 【解析】 (1)设椭圆C的标准方程为： (a>b>0)，焦距为2c， 由题意得，a=2， 由 = ，可得c=1， 则b2=a2-c2=3， 所以椭圆C的标准方程为 ； (2)证明：根据对称性，直线NE过的定点B一定在x轴上， 由题意可知，直线PM的斜率存在， 设直线PM的方程为:y=k(x+4)， 联立 ，消去y得到 ， 设点M(x1，y1)，E(x2，y2)，则N(x1，-y1)， 所以x1+x2= ，x1x2= ， 所以NE的方程为y-y2= (x-x2)， 令y=0，得 ， 将 ， 代上式并整理， 得 ， 整理得，x= ， 所以直线NE与x轴相交于定点B(-1，0). 5．（2021·广东广州高三月考）已知抛物线 的焦点为 ．点 在 上， ． （1）求 ; （2）过 作两条互相垂直的直线 ， 与 交于 两点， 与直线 交于点 ，判断 是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由． 【答案】(1) ；（2）是定值， . 【解析】 （1）因为点 在 上，所以 ①， 因为 ，所以由焦半径公式得 ②， 由①②解得 所以 . （2）由（1）知抛物线的方程为 ，焦点坐标为 ， 当直线 与 轴平行时，此时 的方程为 ， 的方程为 ， ，此时 为等腰直角三角形且 ，故 . 当直线 与 轴不平行且斜率存在时，若 为定值，则定值比为 ，下