专题12 立体几何解答题-2022年新高考数学模拟题分项汇编(第三期)

专题12 立体几何解答题 1．（2021·广东广雅中学高三月考）如图，正方形 的边长为2， 的中点分别为C， ，正方形 沿着 折起形成三棱柱 ，三棱柱 中， . （1）证明:当 时，求证： 平面 ； （2）当 时，求二面角 的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】 （1）当 时，点 是 的中点， 因为 ，所以 ，又 ， 所以 ，所以 ， 因为 ， ，所以 平面 ， 平面 所以 ，且 ， 所以 平面 ； （2）因为 ， ， 两两互相垂直，所以以点 为原点，以 ， ， 作为 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如下图， 平面 ，所以向量 是平面 的法向量， ， ， ， ， ， 设平面DBC1的法向量 ， 所以 ，即 ，令 ， ， ， 所以平面DBC1的一个法向量 ， ， 所以二面角 的余弦值是 2．（2021·江苏海安高级中学高三期中）已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD =2AB，PA⊥平面ABCD，E为线段BC上一点.且平面PDE将四棱锥P - ABCD分成体积比为3：1的两部分. （1）求证：平面PDE⊥平面PAE； （2）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角 的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 （1）证明：∵ 平面 ， ∴ ，即 ， ∴ 为 的中点，由 ，得 ， 又 是矩形，则 ，同理： ， ∴ ，则 ， ∵ 面 ， 面 ， ∴ ，而 ， ∴ 面 ，由 面 ， ∴面 面 . （2）依题意，建立空间直角坐标系如下图所示，不妨设 ，又 平面 ， ∴ 即为 与平面 所成角的平面角，故 ， ∴ ，则 ， ， ， ， ， 由（1）知：面 的一个法向量 ， 设 是平面 的一个法向量，而 ， ， ∴ ，令 ，故 ， ∴ ，则锐二面角 的大小为 . 3．（2021·江苏扬州中学高三月考）如图所示，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点， ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，连接 . （1）求证： ； （2）求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 （1）因为 ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点， 所以 ， .所以 . 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 又 平面 ，平面 平面 ， 所以 .又 ，所以 . （2）在 中， ， ，所以 . 又 平面 ，所以 ， ， 两两垂直. 以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴､ 轴､ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设 ，则 ， ， ， ， ， .所以 ， ， ， . 设平面 的一个法向量为 ， 由 ， ，得 取 ，得 . 设平面 的一个法向量为 ， 由 ， ，得 取 ，得 . 设二面角 为 ，由图象知二面角为锐角， 则 . 4．（2021·江苏苏州中学高三月考）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， . （1）求证：平面 平面 ； （2）若点M为 的中点，点N为线段 上一动点，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2） . 【解析】 （1）设 的中点为 ，因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 三点共线，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 , 因为 ，且 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 . （2）以 所在的直线分别为 轴、 轴，过点 点作平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，则 ， 因为 为 的中点，所以 ， 由点N为线段 上一动点，设 ， 则 ，所以 所以 ， 由（1）知 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ， 设直线 与平面 所成的角 ， 则 ， 又由 因为 ，当 时， 取得最小值，最小值为 ； 当 时， 取得最大值，最大值为 ， 所以 ，可得 ， 即直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围 . 5．（2021·南京市中华中学高三月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA 平面ABCD，AD BC，AD CD，且AD=CD= ，BC= ，PA=1. (1)求证：AB PC； (2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M-AC-D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， . 【解析】 (1)证明：如图，由已知得四边形ABCD是直角梯形， 由AD=CD= ，BC= ， 可得△ABC是等腰直角三角形，即 AB AC， 因为PA 平面ABCD，AB(平面ABCD， 所以PA AB，又PA∩AC=A， 故AB 平面PAC， 又PC(平面PAC， 所以AB PC. (2)取BC的中点E，连接AE，则AE BC， 建立空间直角坐标系，如下图所示： 则 ， ， ， ， ， 故 ， ， 设 ， 易得，点 为 ， 所以 ， 设平面