专题11 数列解答题-2022年新高考数学模拟题分项汇编(第三期)

专题11 数列解答题 1．（2021·重庆八中高三月考）已知 是等差数列 的前 项和，若 ， . （1）求数列 的通项公式 ； （2）记 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ， 由题意得： ∴ 即 ∴ . （2）由（1）知 ， ∴ ∴ EMBED Equation.DSMT4 . 2．（2021·山东省淄博实验中学高三月考）已知数列 满足 ， ，设 . （1）证明： 为等差数列； （2）求数列 的前 项和 . 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 （1） EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 为等差数列； （2） EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，① ，② ① ②得： EMBED Equation.DSMT4 ， 3．（2021·山东济南市历城二中高三月考）已知首项为 的数列 的前 项和为 ，且 ． （1）求证：数列 为等差数列； （2）记数列 的前 项和为 ，求 ． 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 （1）依题意， ，则 ， 两边都加1可得， ， 故 ，则 ， 故数列 是首项为 ，公差为 的等差数列； （2）由（1）可知， ，故 ， 则 ， 故 . 4．（2021·河北沧州高三月考）设 为数列 的前 项和，已知 . （1）求 的通项公式； （2）记 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) ；(2) . 【解析】 (1)因 为数列 的前 项和，且 ， 则当 时， ， 又 ，满足上式，于是得 ， 所以 的通项公式为 ； (2)由(1)知， ，显然 ， ，而 ， 因此，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，则有 ， 所以数列 的前 项和 . 5．（2021·河北石家庄实验中学高三质检）已知数列 的前 项和为 ，且对任意正整数 ， 成立． （1） ，求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 （1）在 中令 得 ． 因为对任意正整数 ， 成立，所以 ， 两式相减得 ，所以 ， 又 ，所以 为等比数列， 所以 ，所以 ． （2） 当 为偶数时， ， 当 为奇数时， ． 所以 ． 6．（2021·河北武强中学高三月考）已知数列 中， ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 满足： ，求 的前n项和 ． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）由 ， ，可得 ， 所以数列 是首项为1，公差为3的等差数列， 所以 ， 所以 ； （2） ， 前n项和 ， ， 两式相减可得 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ． 7．（2021·湖北黄石高三月考）已知数列 前n项和为 ，若 ，且 成等比数列． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，数列 的前n项和为 ，求证： ． 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】 （1） ， ， 当 时， ， ， ， . 又 ， ， 成等比数列. ， ， 或 .又 ， ， . （2） ， . 8．（2021·湖南湘潭高三一模）已知 为数列 的前 项和，且 ，( ， 为常数)，若 ， EMBED Equation.DSMT4 ．求： (1)数列 的通项公式； (2) 的最值． 【答案】(1) 或 ；(2)当 时， 的最小值为3，无最大值；当 时， 的最大值为12，无最小值． 【解析】 (1)在数列 中， ，( ， 为常数)，则数列 是等差数列，公差为 ， 由 得： ， 又 ，即 ，于是有 ，或 ， 由 得： ， ，此时， ， 由 得： ， ，此时， ， 所以数列 的通项公式是 或 ； (2)当 时， ，显然 是关于正整数 的增函数， 所以 为 的最小值， 无最大值； 当 时， ，而 为正整数，则当 或 时， 有最大值 ， 无最小值， 所以 是 的最大值， 无最小值. 9．（2021·湖南长郡中学高三月考）已知在数列 中， ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】 ， ， ， ， 左右两边同时相加得， = ， ， 当 时也符合上式， 所以 （2）由 得 所以 ， = = 10．（2021·江苏海安高级中学高三期中）已知数列{an}的前n项和Sn，满足Sn＝n(n－6)，数列{bn}满足b2＝3，bn＋1＝3bn(n∈N*) （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）记数列{cn}满足cn＝ 求数列{cn}的前n项和Tn. 【答案】（1） an＝2n－7，bn＝3n－1；（2） 【解析