1.1.1 空间向量及其线性运算(第1课时)-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word教参(人教A版)

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算(第1课时) 素养目标 新知索骥 1．理解空间向量的概念． 2．掌握空间向量的线性运算．(数学运算) 知识点一　空间向量的有关概念 1．定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．空间向量的长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 3．表示法： (1)几何表示法：空间向量用有向线段表示． (2)字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作|．，其模记为|a|或| 知识点二　几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 模为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a|＝1或||＝1 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量 －a 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b或＝ 共线向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 a∥b 【微训练】 1．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，连接顶点的向量中，与向量相等的向量共有(　　) A．1个 B．2个　　 C．3个 D．4个 C　解析：与向量，共3个．，，相等的向量有 2．给出下列命题： ①若空间向量a，b满足a＝b，则|a|＝|b|； ②平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，必有； ＝ ③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中假命题的个数是(　　) A．1　 B．2　　　C．3　 D．4 A　解析： ①为真命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，模一定相等；②为真命题，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，；③为真命题，向量相等满足传递性；④为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等．故选A．＝的方向相同，模也相等，故与 知识点三　空间向量的线性运算 1．空间向量的加法、减法及数乘运算 (1)如图1，a＋b＝．＝＋ (2)如图1，a－b＝．＝－ (3)如图2，当λ>0时，λa＝λ；＝ 当λ<0时，λa＝λ；＝ 当λ＝0时，λa＝0． 图1　　　　　　　　　 图2 2．空间向量的线性运算满足的运算律(其中λ，μ∈R) 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb． 【微训练】 1．已知空间四边形ABCD中，等于(　　)＝c，则＝b，＝a， A．a＋b－c B．－a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c C　解析：＝－a＋b＋c．＋－＝＋＋＝ 2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，用向量的结果为(　　)表示向量，， A．＋－＝ B．－＋＝ C．－＋＝ D．＋＋＝ B　解析：．故选B．＋＋＝－＋＋＝ 空间向量的有关概念 1．下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．若向量a，b平行，则a，b所在直线未必平行 B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C．若向量＞|，则|＞|满足|， D．相等向量其方向未必相同 A　解析：A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小；D中，相等向量指的是两个向量长度相等、方向相同．故选A． 2．如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为的所有向量． (3)试写出与向量相等的所有向量． (4)试写出向量所有的相反向量． 解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．，，，，，，， (2)由于长方体的左、右两侧面的对角线长均为．，，，，，，，的向量有，故模为 (3)与向量．及，相等的所有向量(除它自身之外)有 (4)向量．，，，的相反向量有 1．在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致．两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等．两向量互为相反向量的充要条件是两个向量的模相等，方向相反． 2．判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小与方向，两者缺一不可，相互制约． 空间向量的线性运算 【例1】 如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN．设．＝c，试用a，b，c表示向量＝b，＝a， 解：＋＝＋＝ ＝)＋＋(＋ ＝＋ ＝＋ ＝c．b＋a＋＝＋＋ 【例2】 如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式