2.4.2 圆的一般方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word教参(人教A版)

2.4.2　圆的一般方程 素养目标 新知索骥 1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(数学运算) 2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(逻辑推理) 3．初步掌握求动点的轨迹方程的方法．(数学运算) 知识点一　圆的一般方程 1．圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为．，半径长为 3．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以为半径的圆为圆心，以 【微训练】 1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) D　解析：圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)．故选D． 2．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________． 4　解析：以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F＝4． 知识点二　待定系数法求圆的方程的步骤 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； (3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程． 知识点三　轨迹方程与轨迹 点M的轨迹方程是指点M的坐标(x，y)满足的关系式．轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹(集合)． 【微训练】 过A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)三点的圆的方程是(　　) A．x2＋y2－7x－3y＋2＝0 B．x2＋y2＋7x－3y＋2＝0 C．x2＋y2＋7x＋3y＋2＝0 D．x2＋y2－7x＋3y＋2＝0 A　解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． 将A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)三点的坐标代入方程，得到方程组 解得D＝－7，E＝－3，F＝2． 故圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0． 圆的一般方程的概念辨析 1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　) A．a＜1　　 B．a＞1 C．－2＜a＜ D．－2＜a＜0 A　解析：当a2＋4a2－4＞0时，表示圆的方程，化简得－a＋1＞0，解得a＜1．故选A． 2．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为______________，半径为________． (－2，－4)　5　解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1．当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋<0，不表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径为5．＋(y＋1)2＝－＝0，配方得 3．判断下列方程分别表示什么图形． (1)x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0； (2)x2＋y2－2x＋4y－6＝0； (3)x2＋y2－2ax－b2＝0； (4)3x2＋3y2－2x＋4y－6＝0． 解：(1)(方法一：配方法)原方程等价于(x＋1)2＋(y＋1)2＝0，因此方程表示点(－1，－1)． (方法二：公式法)因为D2＋E2－4F＝22＋22－4×2＝0，所以方程表示点，即(－1，－1)． (2)原方程等价于(x－1)2＋(y＋2)2＝(的圆．)2，因此方程表示圆心为(1，－2)，半径为 (3)因为D2＋E2－4F＝4a2＋4b2≥0，所以当a＝b＝0时，方程表示原点；当a，b不全为0时，方程表示以(a,0)为圆心，为半径的圆． (4)原方程等价于x2＋y2－的圆．，半径为，因此方程表示圆心为＝＋y－2＝0，配方，得x＋ 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法 (1)配方法．对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)运用圆的一般方程的判断方法求解．即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆． 提醒：在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数． 求圆的一般方程 【例1】 圆C过点A(1,2)，B(3,4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆C