2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word教参(人教A版)

2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 素养目标 新知索骥 1．掌握点到直线的距离公式．(直观想象) 2．能用公式求点到直线的距离．(数学运算) 3．会求两条平行直线间的距离．(数学运算) 知识点一　点到直线的距离 1．点到直线的距离公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|． (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|． (3)点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|． (4)点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|． 【微训练】 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(　　) A． C．2 D． B． D　解析：由点到直线的距离公式得d＝．＝ 2．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　) A．＋1－1 D． C． B．2－ C　解析：由点到直线l的距离公式得d＝－1．＝1，且a>0，解得a＝ 知识点二　两条平行直线间的距离 1．概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． 2．求法：两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离． 3．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝． 【微训练】 1．两条平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离为(　　) A．5 B． C． D．3 B　解析：利用两平行线之间的距离公式得d＝．＝ 2．直线l1：5x＋12y＋3＝0与l2：10x＋24y－7＝0的距离为________． 　解析：l1的方程可化为10x＋24y＋6＝0， 所以l1与l2的距离d＝．＝ 点到直线的距离 1．点A(－1,2)到直线y＝2x＋5的距离为________． 　解析：y＝2x＋5可化为2x－y＋5＝0， 所以点A(－1,2)到直线2x－y＋5＝0的距离 d＝．＝ 2．若点M(－2,1)到直线x＋2y＋c＝0的距离为1，则c的值为________． ±　解析：由点到直线的距离公式可知 ．＝1，所以c＝±＝ 3．过点M(－2,1)，且与A(－1,2)，B(3,0)距离相等的直线方程为________． y＝1或x＋2y＝0　解析：(方法一)由题意可得kAB＝－，线段AB的中点为C(1,1)，满足条件的直线经过线段AB的中点或与直线AB平行． 当直线过线段AB的中点时，因为点M与点C的纵坐标相同，所以直线MC的方程为y＝1； 当直线与AB平行时，其斜率为－(x＋2)，即x＋2y＝0．，由点斜式可得直线方程为y－1＝－ 综上，所求直线的方程为y＝1或x＋2y＝0． (方法二)显然所求直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋b． 根据条件有 化简得或 所以或 故所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0． 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 两条平行线间的距离 【例1】求两平行线l1：3x＋4y＝10，l2：6x＋8y＝15间的距离． 解：(方法一)在l1上任取一点A(2,1)，则点A到l2的距离即为l1与l2间的距离． 又l2可化为6x＋8y－15＝0， 所以d＝．＝＝ (方法二)l1可化为3x＋4y－10＝0， l2可化为3x＋4y－＝0， 所以l1与l2间的距离d＝．＝＝ 【例2】 直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求直线l1与l2的方程． 解：当l1，l2的斜率不存在，即l1：x＝0，l2：x＝5时，满足条件． 当l1，l2的斜率存在时，设l1：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0， l2：y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，由两条平行直线间的距离公式得．＝5，解得k＝ 此时l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0． 综上所述，所求直线l1，l2的方程为l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0． 求两平行直线间的距离有两种思路 (1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离； (2)直接利用两平行线间的距离公式d＝，但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． 1．两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是(　　) A．(0，＋∞