2.2.2 直线的两点式方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word教参(人教A版)

2.2.2　直线的两点式方程 素养目标 新知索骥 1．掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范围．(直观想象) 2．了解直线方程截距式的形式、特征及其适用范围．(数学运算) 知识点　直线的两点式、截距式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 ＝ 斜率存在且不为0 截距式 在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且a，b≠0 ＝1＋ 斜率存在且不为0，不过原点 【微训练】 1．下列说法正确的是(　　) A．＝k是过点(x1，y1)且斜率为k的直线 B．在x轴和y轴上的截距分别是a，b的直线方程为＝1＋ C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离是b D．不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截式 D　解析：A中直线方程不包括x＝x1，B中a，b必须强调不为0，C中的b只是直线与y轴交点的纵坐标．故只有D项正确． 2．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是______________． x－y－1＝0　解析：由直线的两点式得，即x－y－1＝0．＝ 3．过点P1(2,0)，P2(0,3)的直线方程是___________． ＝1．＋＝1　解析：由截距式方程可知过P1，P2两点的直线为＋ 直线的两点式方程 1．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________． －2　解析：由直线方程的两点式得 ．＝，即＝ 所以直线AB的方程为y＋1＝－x＋2， 因为点P(3，m)在直线AB上， 则m＋1＝－3＋2，得m＝－2． 2．△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，则直线AC的方程为________，BC边的垂直平分线的方程为________． 3x－y＋9＝0　2x－y＋2＝0　解析：由直线方程的两点式得，＝ 所以AC所在直线的方程是3x－y＋9＝0． 因为B(2,1)，C(－2,3)，所以kBC＝，即(0,2)，所以BC边的垂直平分线方程是y－2＝2(x－0)，整理得2x－y＋2＝0．，线段BC的中点坐标是＝－ 3．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,3)，B(5,1)，C(－1，－1)． (1)BC边的中线AD所在的直线方程为________； (2)AC边的高BH所在的直线方程为________． (1)3x＋y－6＝0　(2)x＋2y－7＝0　解析：(1)边BC中点D的坐标为(2,0)， 所以直线AD的方程为，即3x＋y－6＝0．＝ (2)因为kAC＝＝2，BH⊥AC， 所以kBH＝－， 所以直线BH的方程为y－1＝－(x－5)，即x＋2y－7＝0． 由两点式求直线方程的步骤 (1)设出直线所经过点的坐标； (2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标； (3)由直线的两点式方程写出直线的方程． 提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程． 直线的截距式方程 【例1】 经过点(0，－2)，且在两坐标轴上的截距和为2的直线方程是(　　) A．＝1＋ B．＝1＋ C．＝1＋ D．＝1－ D　解析：依题意可设＝1，把(0，－2)代入方程可得a＝4．＋ 所以直线方程为＝1．故选D．－ 【例2】已知直线l经过点P(4,3)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 解：(方法一)当直线l过原点时，它在两坐标轴上的截距都是0． 设直线方程为y＝kx．因为过点P(4,3)， 所以3＝4k，故k＝． 所以直线方程为y＝x，即3x－4y＝0． 当直线l不过原点时，设直线的截距式方程为 ＝1(a≠0)，＋ 又因为直线过点P(4,3)，所以＝1，所以a＝7．＋ 所以直线方程为＝1，即x＋y－7＝0．＋ 综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或3x－4y＝0． (方法二)设直线l的斜率为k，则有y－3＝k(x－4)． 令x＝0，得y＝3－4k；令y＝0，得x＝4－． 由直线在两坐标轴上的截距相等，得3－4k＝4－，，解得k＝－1或k＝ 所以直线方程为y－3＝－(x－4)或y－3＝(x－4)． 即直线l的方程为x＋y－7＝0或3x－4y＝0． 利用截距式求直线方程的策略 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式求直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式求直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．如果题中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”等条件，采用截距式求直线方程，要注意考虑“零截距”的情况． 求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程． 解