2.1.1 倾斜角与斜率-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word教参(人教A版)

第二章　直线和圆的方程 2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 素养目标 新知索骥 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(数学抽象) 2．掌握倾斜角与斜率的对应关系．(数学抽象) 3．掌握过两点的直线的斜率公式．(数学运算) 知识点一　倾斜角的相关概念 定义 当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0° 图示 范围 0°≤α<180° 作用 用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向； 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角 【微训练】 1．若直线x＝1的倾斜角为α，则α(　　) A．等于0° B．等于45° C．等于90° D．不存在 C　解析：直线x＝1垂直于x轴，因此倾斜角α等于90°． 2．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是________． 90°＜α＜180°　解析：直线的倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°． 知识点二　斜率的概念及斜率公式 1．定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值． 2．记法：k＝tan α． 3．斜率与倾斜角的对应关系： 图示 倾斜角α α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180° 斜率 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0) 4．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝． 【微训练】 1．若直线l的倾斜角α＝135°，则其斜率k等于(　　) A． C．－1 D．1 B． C　解析：k＝tan 135°＝－1． 2．已知点A(1,0)，B(－1,1)，则直线AB的斜率为(　　) A．－ B． C．－2 D．2 A　解析：直线AB的斜率k＝．＝－ 直线的倾斜角 1．下列说法中，正确的是(　　) A．若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α B．若直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C．若直线的倾斜角为α，则tan α＞0 D．任意直线都有倾斜角，但它不一定有斜率 D　解析：当α＝90°时，直线的斜率不存在，故A错；直线斜率为tan α，但只有α∈[0°，180°)时α才是直线的倾斜角，故B错；α＝0°时，tan α＝0，故C错；D对．故选D． 2．一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α D　解析：如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α．故选D． 3．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________． 135°　解析：如图，由题意知，∠3＝120°，所以∠2＝120°． 所以∠1＝180°－120°－α1＝45°．所以α2＝180°－45°＝135°． 求直线倾斜角的方法及关注点 (1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． (2)关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及有关推论． 提醒：理解倾斜角的概念时，要注意三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角． 直线的斜率 【例1】 已知点A的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B．若kAB＝4，则点B的坐标为(　　) A．(2,0)或(0，－4) B．(2,0)或(0，－8) C．(2,0) D．(0，－8) B　解析：设B(x,0)或(0，y)，因为kAB＝＝4，＝4或，所以或kAB＝ 所以x＝2，y＝－8， 所以点B的坐标为(2,0)或(0，－8)． 【例2】 求经过下列两点的直线的倾斜角和斜率． (1)A(－2,0)，B(－5,3)； (2)A(3,2)，B(5,2)； (3)A(3，－1)，B(3,3)． 解：(1)因为A(－2,0)，B(－5,3)， 所以kAB＝＝－1．＝ 直线AB的倾斜角为135°． (2)因为A(3,2)，B(5,2)， 所以kAB＝＝0． 直线AB的倾斜角为0°． (3)因为A(3，－1)，B(3,3)． 所以直线AB的倾斜角为90°，斜率不存在． 解决斜率问题的方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义k＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运