1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word教参(人教A版)

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离 素养目标 新知索骥 1．能用向量方法解决点到直线、点到平面的距离问题．(直观想象) 2．能用向量方法解决相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 知识点一　直线外一点到直线的距离 如图，设．＝＝(a·u)u．在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝在直线l上的投影向量＝a，则向量 知识点二　点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是＝＝·的长度．因此PQ＝在直线l上的投影向量 知识点三　用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” 1．建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； 2．通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； 3．把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论． 【微训练】 1．在空间直角坐标系中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)．已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 C　解析：点P到平面OAB的距离为d＝＝2．＝ 2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　) A． B． C． D． B　解析：建立如图所示空间直角坐标系，则＝(0,1,2)．＝(0,2,0)， 所以点A到直线BE的距离为．＝＝ 点到直线的距离公式 1．已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为(　　) A． B．1 C． D．2 A　解析：因为A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，所以＝(－1,2，－2)．＝(1,0,0)， 所以点A到直线BC的距离为 d＝．故选A．＝＝ 2．已知直线l的方向向量为m＝(1，，－1)．若点P(－1，1，－1)为直线l外一点，A(4,1，－2)为直线l上一点，则P到直线l上的距离为________． ，－1)，　解析：因为m＝(1， 所以．＝ 因为P(－1,1，－1)，A(4,1，－2)，所以．＝＝＝(5,0，－1)．所以点P到直线l上的距离为 求空间直线外一点P到直线AB的距离，一般应先建立坐标系，得到直线AB的单位方向向量n＝．，则点P到直线AB的距离即为 点到平面的距离公式及应用 【例1】已知点M(0,1，－2)，平面α过原点，且垂直于向量n＝(1，－2,2)，则点M到平面α的距离为(　　) A． B．2 C．6 D． B　解析：由题可知点M到平面α的距离即为在n的投影长度． 因为M(0,1，－2)，所以＝(0,1，－2)． 所以·n＝0×1＋1×(－2)＋(－2)×2＝－6， |n|＝＝3． 所以＝2．故选B．＝在n的投影为 【例2】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝1． (1)求证：AB1∥平面BC1D； (2)求直线AB1到平面BC1D的距离． (1)证明：以B为原点，以BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,0,0)，C1(1,0,1)，D＝(0，－1,1)．，＝＝(1,0,1)，，A(0,1,0)，B1(0，0,1)．所以 设平面BC1D的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则n＝(1，－1，－1)为平面BC1D的一个法向量． 因为·n＝0×1＋(－1)×(－1)＋1×(－1)＝0， 所以⊥n． 因为AB1⊄平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D． (2)解：因为AB1∥平面BC1D，所以直线上任一点到平面的距离都相等． 设直线AB1到平面BC1D的距离为d，．＝＝＝(0,1,0)，则d＝ 所以直线AB1到平面BC1D的距离为． 【例3】在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，求平面AB1C与平面A1C1D之间的距离． 解：建立如图所示的直角坐标系，则A1(1,0,0)，C1(0，1,0)，D(0,0,1)，A(1,0,1)． 所以＝(－1，0,0)．＝(0,1，－1)，＝(1,0，－1)， 设平面A1C1D的法向量为m＝(x，y,1)，则 即 解得故m＝(1,1,1)为平面A1C1D的一个法向量． 显然平面AB1C∥平面A1C1D． 所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离，即为点A到平面A1C1D的距离，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝．＝＝ 直线到平面的距离、平行平面间的距离，均可以转化为