1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word教参(人教A版)

1.4.1.3　空间中直线、平面的垂直 素养目标 新知索骥 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系． 2．能用向量方法证明直线与平面、平面与平面的垂直的有关判定定理．(逻辑推理) 知识点一　线线垂直 如图，设直线l1，l2 的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． 知识点二　线面垂直 如图，设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． 知识点三　面面垂直 如图，设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． 【微训练】 1．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则直线l与平面α的位置关系是(　　) A．l⊥α 　 B．l∥α C．l与α相交但不垂直 　 D．l∥α或l⊂α D　解析：因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u，所以l∥α或l⊂α．故选D． 2．已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________． 垂直　解析：u1·u2＝0，则α⊥β． 利用空间向量判断位置关系 1．若d＝(4,2,3)是直线l的方向向量，n＝(－1,3,0)是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．直线l在平面α内 D．相交但不垂直 D　解析：显然d与n不平行，因此直线l与平面α不垂直．又d·n＝4×(－1)＋2×3＋3×0＝2，即d与n不垂直，从而直线l与平面α不平行，故直线l与平面α相交但不垂直．故选D． 2．四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(－1,2，－1)，则直线PA与底面ABCD的关系是(　　)＝(4,2,0)，＝(2，－1，－4)， A．平行 B．垂直 C．在平面内 D．成60°角 B　解析：依题意＝4－4＋0＝0，所以PA⊥AB，PA⊥AD，而AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD．故选B．·＝2＋2－4＝0，·＝(1，－2,1)，而＝－ 3．已知平面α的法向量为(4,3，－7)，若直线l⊥平面α，则直线l的方向向量可以为(　　) A．(8,6,14) B．(－8，－6,14) C． D． B　解析：因为直线l⊥平面α，所以直线l的方向向量与平面α的法向量平行． 因为(－8，－16,14)＝－2(4,3，－7)，所以直线l的方向向量可以为(－8，－16,14)．故选B． 应用空间向量证明线线、线面垂直 【例1】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．求证：A1E⊥BD． 证明：分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为a． 依题意可得，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)． 设E(0，a，e)(0≤e≤a)，则＝(－a，a，e－a)． 又＝(－a，－a,0)， 所以＝a2－a2＝0，· 所以，即A1E⊥BD．⊥ 【例2】如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD． 证明：(方法一)如图所示，取BC的中点O，连接AO．因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC． 因为在正三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1． 取B1C1的中点O1，以O为原点，以)，B1(1,2,0)．)，A(0,0，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，，， 所以＝(－2,1,0)．)，＝(－1,2，)，＝(1,2，－ 因为＝0．)×＝1×(－1)＋2×2＋(－· )×0＝0．＝1×(－2)＋2×1＋(－· 所以，⊥，⊥ 即AB1⊥BA1，AB1⊥BD． 又因为BA1∩BD＝B，BA1⊂平面A1BD，BD⊂平面A1BD， 所以AB1⊥平面A1BD． (方法二)建系同方法一． 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1得平面A1BD的一个法向量为n＝(1,2，－)． 又∥n．，即)，所以n＝＝(1,2，－ 所以AB1⊥平面A1BD． 1．利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键． 2．用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示． 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为