1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word教参(人教A版)

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 1.4.1.1　空间中点、直线和平面的向量表示 素养目标 新知索骥 1．能用向量语言描述直线和平面． 2．理解直线的方向向量和平面的法向量，会求一个平面的法向量．(直观想象、数学运算) 知识点　直线的方向向量与平面的法向量 1．用向量表示直线的位置 条件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量) 形式 在直线l上取＝t＝ta，即＝a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得 作用 定位置 点A和向量a可以确定直线l的位置 定点 可以具体表示出l上的任意一点 取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使．＋t＝ 2．用向量表示平面的位置 (1)通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定： 条件 平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O 形式 对于平面α内任意一点P，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb 取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使．＋y＋x＝ (2)通过平面α上的一个定点A和法向量来确定： 平面的法向量 直线l⊥α，直线l的方向向量叫做平面α的法向量 确定平面位置 给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0} 【微训练】 1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1,2,3)　　　　　 B．(1,3,2) C．(2,1,3) D．(3,2,1) A　解析：共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量．故选A．＝(2,4,6)，而与 2．已知平面α内的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为(　　) A．(1，－1,1) B．(2，－1,1) C．(－2,1,1)　　 D．(－1,1，－1) C　解析：显然a与b不平行，设平面α的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 所以 令z＝1，得x＝－2，y＝1，所以n＝(－2,1,1)． 空间直线的方向向量 1．若点A在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)，B A． B． C． D． A　解析：因为A共线的向量都可以是直线l的方向向量．故选A．＝(1,2,3)为直线l的一个方向向量，故所有与，所以，B 2．若两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1和l2的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定 A　解析：因为两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)， 所以v2＝－2v1，即v2与v1共线．所以两条不重合直线l1和l2的位置关系是平行．故选A． 3．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z＝(　　) A．0 B．1 C． D．3 A　解析：A(0，y,3)和B(－1,2，z)，＝(－1,2－y，z－3)． 因为直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3)，所以可设＝km． 所以－1＝2k,2－y＝－k，z－3＝3k， 解得k＝－＝z．，y＝ 所以y－z＝0．故选A． 1．已知直线上两点A，B，则与向量共线的非零向量均是直线AB的方向向量． 2．已知直线的方向向量和直线上的两点求参数，只需利用向量共线的坐标表示即可得解． 平面的法向量 【例1】 已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，求平面α的一个法向量． 解：因为平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)， 所以＝(2，－4，－3)．＝(1，－2，－4)， 设平面α的法向量为n＝(x，y，z)， 则有 即 解得z＝0，令y＝1，得x＝2， 所以平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)． 【例2】已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD的一个法向量； (2)求平面SAB的一个法向量； (3)求平面SCD的一个法向量． 解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)． (1)因为SA⊥平面ABCD，所以＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量． (2)因为AD⊥AB，AD⊥SA，所以AD⊥平面SAB．