1.3.2 空间向量运算的坐标表示-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word教参(人教A版)

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 素养目标 新知索骥 1．掌握空间向量运算的坐标表示．能用向量的坐标运算解决简单的几何问题．(数学运算) 2．理解空间向量夹角公式，空间两点间的距离公式．(数学运算) 知识点一　空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【微训练】 (多选)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝22 D．5a＝(20，－10，－20) CD　解析：a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2,1，－6)，a·b＝22，|a|＝＝6，故A，B错误，C，D正确． 知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 名称 向量表示 坐标表示 平行 a∥b，a＝λb (λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直 a⊥b，a·b＝0 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝ 【微训练】 1．已知向量a＝(2，－3,5)与b＝(4，x，y)平行，则x，y的值分别为(　　) A．6和－10　 B．－6和10 C．－6和－10　 D．6和10 B　解析：因为向量a＝(2，－3,5)与b＝(4，x，y)平行，所以，解得x＝－6，y＝10．故选B．＝＝ 2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝________． ．　解析：ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝ 知识点三　空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|．|＝ 【微训练】 1．已知A(1,1,0)，B(－1,0,2)，则||为(　　) A． B．4 C．3 D． C　解析：因为＝3．|＝＝(－2，－1,2)，所以| 2．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且，则实数x的值是(　　)＝2 A．－3或4 B．－6或2 C．3或－4 D．6或－2 D　解析：由题意得，，解得x＝6或－2．故选D．＝2＝ 空间向量坐标的运算 1．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于(　　) A．3 B．2 C． D．5 A　解析：因为a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(1＋2＋6,0＋1＋2,1－1＋0)＝(9,3,0)，所以|a－b＋2c|＝．＝3 2．已知空间向量a＝(1,0,2)，b＝(－2,1,3)，则a－2b＝________． (5，－2，－4)　解析：因为a＝(1,0,2)，b＝(－2,1,3)，所以a－2b＝(1,0,2)－2(－2,1,3)＝(5，－2，－4)． 3．已知空间向量a＝(－2,1,5)，b＝(1,3，－4)，则a·b＝________． －19　解析：因为a＝(－2,1,5)，b＝(1,3，－4)，所以a·b＝－2×1＋1×3＋5×(－4)＝－19． 1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． 空间向量平行、垂直、夹角的坐标表示 【例1】已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4，1)，则向量的夹角为________．与 60°　解析：＝(－1,1,0)，＝(0,3,3)， 于是cos〈的夹角为60°．与，故＝＝〉＝， 【例2】已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)． (1)若a∥b，分别求λ与m的值； (2)若|a|＝，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a． 解：(1)由a∥b，得(λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)， 所以解得 所以实数λ＝，m＝3． (2)因为|a|＝，且a⊥c， 所以 化简，得 解得λ＝－1． 因此，a＝(0,1，－2)． 1．向量