1.3.1 空间直角坐标系-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word教参(人教A版)

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 素养目标 新知索骥 1．在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系．(直观想象) 2．会用空间直角坐标系刻画点的位置． 知识点　空间直角坐标系 1．在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面． 2．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底{i，j，k}下与向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使，且点A的位置由向量 3．在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使 a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)． 【微训练】 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x＝0，竖坐标z＝0． (×) (2)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z＝0． (×) (3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反． (√) (4)将空间两点间距离公式中的两点的坐标位置互换，结果保持不变． (√) 2．已知点P(1,1,2)，则向量的坐标为(　　) A．(1，－1，－2) B．(－1，－1，－2) C．(1,1,2) D．(－1，－1,2) C　解析：＝i＋j＋2k＝(1,1,2)．故选C． 空间中点的坐标 如图，在长方体OBCD­O1B1C1D1，OB＝4，OD＝3，OO1＝5，N为棱CC1的中点，分别以OB，OD，OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． (1)求点O，B，C，D，O1，B1，C1，D1的坐标； (2)求点N的坐标． 解：(1)由已知，得O(0,0,0)． 点B在x轴上，OB＝4，所以＝4i＋0j＋0k． 所以B(4,0,0)． 同理，D(0,3,0)，O1(0,0,5)． 点C在x轴、y轴、z轴上的射影分别为B，D，O，它们在坐标轴上的坐标分别为4,3,0， 所以点C的坐标为(4,3,0)． 同理，B1(4,0,5)，D1(0,3,5)． 点C1在x轴、y轴、z轴上的射影分别为B，D，O1，它们在坐标轴上的坐标分别为4,3,5， 所以点C1的坐标为(4,3,5)． (2)由(1)，知C(4,3,0)，C1(4,3,5)， 则C1C的中点为， 即N． 1．求空间直角坐标系中一点的坐标，设该点为P，点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，B，C，则＝(x，y，z)．．若点A，B，C在x轴、y轴、z轴上的坐标为分别为x，y，z，则点P的坐标为(x，y，z)，且＋＋＝ 2．在空间直角坐标系中，若A (x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为． 空间中点的坐标 【例1】(多选)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则(　　) A．点B1的坐标为(4,5,3) B．点C1关于点B对称的点为(5,8，－3) C．点B关于x轴的对称点为(－4,5,0) D．点C1关于平面xDz对称的点为(0，－5,3) AD　解析：根据题意，点B1的坐标为(4,5,3)，选项A正确；点B的坐标为(4,5,0)，C1坐标为(0,5,3)，故点C1关于点B对称的点为(8,5，－3)，选项B错误；点B关于x轴的对称点为(4，－5,0)，选项C错误；点C关于平面xDz对称的点为(0，－5,3)，选项D正确．故选AD． 求对称点的坐标可按以下规律写出：关于谁对称谁不变，其余的符号均相反． 1．点(2,3,2)关于xOy平面的对称点为(　　) A．(2,3，－2) B．(－2，－3，－2) C．(－2，－3,2) D．(2，－3，－2) A　解析：因为点关于xOy平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，而竖坐标互为相反数，所以点(2,3,2)关于xOy平面的对称点为(2,3，－2)．故选A． 2．(多选)关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)，下列说法正确的是(　　) A．OP的中点坐标为 B．点P关于x轴对称的点的坐标为(－1,2,3) C．点P