1.2 空间向量基本定理-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word教参(人教A版)

1.2　空间向量基本定理 素养目标 新知索骥 1．了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(数学抽象) 2．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(数学抽象) 知识点一　空间向量基本定理 1．分向量 如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk．我们称xi，yj，zk 分别为向量p在i，j，k上的分向量． 2．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 知识点二　基底 1．基底 如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 2．正交分解 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【微训练】 1．在以下3个命题中，真命题的个数是(　　) ①若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面； ②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线； ③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底． A．0 B．1 C．2 D．3 C　解析：命题①②是真命题，命题③是假命题． 2．(多选)空间四个点O，A，B，C, { }为空间的一个基底，则下列说法正确的是(ACD)，， A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面 基底的判断 1．若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是(　　) A．a,2b,3c B．a＋b，b＋c，c＋a C．a＋b＋c，b＋c，c D．a＋2b,2b＋3c,3a－9c D　解析：因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以a，b，c不共面．对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；对于D选项，a＋2b,2b＋3c,3a－9c满足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底．故选D． 2．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且}能否作为空间的一个基底．，，＝e1＋e2－e3．试判断{＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋2e2－e3， 解： 假设共面，，， 则存在实数λ，μ使得，＋μ＝λ 所以e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3． 因为e1，e2，e3不共面， 所以　此方程组无解， 所以不共面，，， 所以{}可以作为空间的一个基底．，， 判断基底的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． ②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程组．若方程组有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 用基底表示空间向量 【例1】点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且的实数x，y，z的值分别为(　　)＋z＋y＝x，则满足＝，＝ A．－，，－ B．，， C．－，，－ D．－，－， D　解析：如图，取PC的中点E，连接NE，则．故选D．，z＝，y＝－．所以x＝－＋－)＝－＋＋(－－＝－－＝－)＝－－(＝－＝ 【例2】四棱锥P­OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC．设＝c，E，F分别是PC和PB的中点．＝b，＝a， (1){a，b，c}是否构成空间的一个基底？ (2)若{a，b，c}可以构成空间的一个基底，用a，b，c表示．，，， 解：(1)＝c不共面，能构成空间的一组基底．＝b，＝a， (2)连接BO，则c．b＋)＝－a－＋(＝－a＋＝－a＋＋＝c．b＋a－(c－b－a)＝－)＝＋＋()＝＋(＝＝ c．b＋(－c＋b)＝－a＋)＝－a＋c＋＋(＋＋＝＋＝ a．＝＝＝