1.1.2 空间向量的数量积运算-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word教参(人教A版)

1.1.2　空间向量的数量积运算 素养目标 新知索骥 1．掌握空间向量的夹角与长度的概念． 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(数学运算) 3．能用向量的数量积解决立体几何问题． 知识点一　空间向量的夹角 1．定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． ＝a， 2．夹角的范围 通常规定，0≤〈a，b〉≤π．这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b． 【微训练】 已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，设〉等于(　　)，＝c，则〈＝b，＝a， A．30° B．60° C．90° D．120° D　解析：△B′D′C是等边三角形，〈〉＝120°．，〉＝〈， 知识点二　空间向量的数量积、运算律 1．定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．其中，|a|cos〈a，b〉叫做向量a在向量b上的投影向量．特别地，零向量与任意向量的数量积为0． 2．线面角 如图，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，，向量 3．空间两向量的数量积的性质 向量数量积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：a·b＝|a||b| 反向：a·b＝－|a||b| 模 a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2， |a|＝， |a·b|≤|a||b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 4．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 【微训练】 1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2．若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　) A．－6 B．6 C．3 D．－3 B　解析：由题意可得 a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1， 所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0， 所以2k－12＝0，所以k＝6． 2．下列式子中正确的是(　　) A．|a|a＝a2　　　 B．(a·b)2＝a2b2 C．a(a·b)＝b·a2 D．|a·b|≤|a||b| D　解析：根据数量积的定义知，A，B，C均不正确．故选D． 空间向量数量积的运算 1．(多选)如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于－a2的是(　　) A．2· B．2· C．2· D．2· AB　解析：2a2．故选AB．＝－·＝a2；2·＝－a2；2·＝－a2；2· 2．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　解析：因为p⊥q且|p|＝|q|＝1， 所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1． 3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则＝________．· ·＝·a2　解析： ＝a2．a2cos 60°＝＝·＋· 在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积； (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模； (4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 利用数量积证明空间中的垂直关系 【例1】 已知在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系为________．(填“平行”或“垂直”) 垂直　解析：因为＝0，所以AD与BC垂直．·)＝－－·(＝·2－－·＋·)＝－)·(＋＝(· 【例2】 如图，已知在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点． 求证：OG⊥BC． 证明：如图，连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，＝c，则|a|＝|b|＝|c|．＝b，＝a， 又)＝＋(＝ ＝＝c－b，(a＋b＋c)， 所以(a＋b＋c)·(c－b)＝· ＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c) ＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2) ＝0． 所以，即