第07讲 轴对称与几何最值-2021-2022学年八年级数学上学期精选专题突破(苏科版)

第07讲 轴对称与几何最值 【解题策略】 路径最短问题基本图形辅助线作法： 图形及问题 作法及图形 原理 在l上找一点P，使PA+PB最小 连接AB，AB与l的交点为点P PA+PB最小值为AB （两点之间，线段最短） 在直线l上求一点P， 使AP+BP最小 作A关于l的对称点A’，连接A’B，与l的交点即为P点 （两点之间，线段最短） 在∠AOB内有一点P，在射线OA、OB上求作C、D两点， 使△PCD周长最小 分别作点P关于射线OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2， 与两射线的交点即为C、D点 PC+PD+CD =P1C+P2D+CD=P1P2， （两点之间，线段最短） 【例题讲解】 【例题1】如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=6，AC=3，求BE的长． 【解答】解：如图，连接CD，BD， ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE， ∴AE=AF， ∵DG是BC的垂直平分线， ∴CD=BD， 在Rt△CDF和Rt△BDE中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）， ∴BE=CF， ∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE， ∵AB=6，AC=3， ∴BE=1.5． 【例题2--两定一动】作图题，点P，Q分别在直线L两侧．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在L上求作一点M，使（PM+QM）为最小； （2）在L上求作一点N，使（PN﹣QN）为最大． 【答案】（1）连接PQ交直线l于M，则M为所求；如图： （2）如图，作Q关于直线l的对称点A，作直线PA交直线l于N，则N为所求． 【例题3--两动一定】如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（　　） 　 A． 10 B． 15 C． 20 D． 30 【答案】A． 【解析】设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF．∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=10，即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10． 【例题4】（1）已知：如图1，在△ABC中，D、F分别是AB、CA上的两个定点，在BC上找一点E，使△DEF的周长最小，请作出相应图形； （2）已知：如图2，在△ABC中，若在上一题的条件改为D是AB上一定点，在BC、CA、上分别找一点E、F使△DEF的周长最小，请作出相应图形。 【答案】（1）如图1，作点D关于BC对称点D′，连接D′F交BC于E，△DEF为所求； （2）如图2，作点D关于BC、AC的对称点D′、D″，连接D′D″交BC、AC于E、F，则△DEF为所求； 【进阶训练】 1.如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α=（　　） 　 A． 30° B． 45° C． 60° D． 90° 【答案】A． 【解析】如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E， OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°． 2. 如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且， 点是射线上一动点，则的最小值为________． 【答案】3 【解析】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案． 根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小， 当PM⊥OC时， 又∵OP平分∠AOC，，， ∴PM=PD=3 故答案为：3 3. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使