第06讲 倍长中线-2021-2022学年八年级数学上学期精选专题突破(苏科版)

第06讲 倍长中线 【解题策略】 有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。倍长中线法通常是全等变换中的旋转思想的应用。 常用以下形式作辅助线 延长AD到E，使DE=AD，连接BE 间接倍长作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，连接DE 【例题讲解】 【例题1】如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线。已知AC=5，AD=4，则AB的取值范围是_________。 【答案】解：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，则AE=2AD=2×4=8，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD， ∵在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB=EC， 又∵AC=5，AE=8 ∴5+8=13，8－5=3， ∴3＜CE＜13， 即AB的取值范围是：3＜AB＜13。 故答案为：3＜AB＜13。 【例题2】如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论。 【答案】关系：BE+CF＞FP=EF。 证明：延长ED至P，使DP=DE，连接CP、FP， ∵D是BC的中点， ∴BD=CD， 在△BDE和△CDP中， ， ∴△BDE≌△CDP（SAS）， ∴BE=CP， ∵DE⊥DF，DE=DP， ∴EF=FP ∴在△CFP中，CP+CF=BE+CF＞FP=EF. 【例题3】阅读理解 倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若延长AD至B，使DE=AD，连接CE，可根据SAS证明△ABD≌△ECD，则AB=EC． 问题提出 （1）如图1，在△DEF中，DE=3，DF=7，点G是EF的中点，则中线DG的取值范围是____________． 问题探究 （2）如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点．若AE是∠BAD的平分线，则AB，AD，CD之间的等量关系是____________． 问题解决 （3）如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点．若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】 （1）2＜DG＜5； （2）AD=AB+DC； （3） 结论：AB=AF+CF． 理由：延长AE交DC的延长线于G． ∵AB∥DG， ∴∠G=∠EAB， ∵CE=EB，∠CEG=∠BEA， ∴△CEG≌△BEA（AAS）， ∴AB=CG， ∵AE平分∠FAB， ∴∠FAG=∠EAB， ∵∠G=∠EAB， ∴∠FAG=∠G， ∴FA=FG， ∵CG=CF+FG=CF+AF， ∴AB=AF+CF． 【进阶训练】 1.【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是　 　． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是　 　． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长． 【灵活运用】 如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【解答】 解：（1）在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故选：B； （2）AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴2＜AD＜10， 故答案为：2＜AD＜10； 【初步运用】延长AD到M，使AD＝DM，连接BM， ∵AE＝EF．EF＝3， ∴AC＝5， ∵AD是△ABC中线， ∴CD＝BD， ∵在△ADC和△MDB中， ， ∴△ADC≌△MDB， ∴BM＝AC，∠CAD＝∠M， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠CAD＝∠M， ∴BF＝BM＝AC， 即BF＝5； 【灵活运用】线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE2+CF2＝EF2． 证明：如图3，延长ED到点G，使DG＝ED，连结GF，GC， ∵ED⊥DF， ∴EF＝GF， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDG中， ， ∴△DBE≌△DCG（SAS）， ∴BE＝CG， ∵∠A＝90°， ∴∠B+∠ACB＝90°， ∵△DBE≌△DCG，