第05讲 截长补短-2021-2022学年八年级数学上学期精选专题突破(苏科版)

第05讲 截长补短 【解题策略】 分析证明一条线段等于两条线段和（差）的基本方法有两种： （1）补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段，使其为求证中的两条线段之和，再证明所构造的线段与求证中那一条线段相等。如图：延长AB，使BE=BD，连接DE，则AC=AB+BD。 （2）截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等。如图：在AC上截取AE=AB，连接DE，则AC=AE+EC=AB+BD。 【例题讲解】 【例题1】已知△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，E为AB上一点，且∠EDB＝∠B，现有下列两个结论：①AB＝AD＋CD；②AB＝AC＋CD. （1）如图①，若∠C＝90°，则结论________成立；（不必证明） （2）如图②，若∠C＝100°，则结论________成立，请证明． 【解析】解：(1)② (2)① 证明：方法一(截长法)：∵AC＝BC，∠C＝100°， ∴∠BAC＝∠B＝40°. ∵∠EDB＝∠B， ∴DE＝BE，∠DEA＝2∠B＝80°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD＝20°， ∴∠ADE＝180°－20°－80°＝80°＝∠DEA， ∴AD＝AE. 在AB上截取AM＝AC，连结MD. 易得△CAD≌△MAD. ∴CD＝MD，∠DMA＝∠C＝100°， ∴∠DME＝∠DEM＝80°， ∴DM＝DE，∴CD＝BE， ∴AB＝AE＋BE＝AD＋CD. 方法二(作垂线)：同方法一可得AD＝AE，BE＝ED. 过点D作DF⊥AB于点F，DG⊥AC，交AC的延长线于点G， 则∠DGC＝∠DFE＝90°. 又∵AD＝AD，∠CAD＝∠BAD＝20°， ∴△DAG≌△DAF， ∴DG＝DF. 又∵易得∠DCG＝∠DEF＝80°，∠DGC＝∠DFE， ∴△DCG≌△DEF， ∴CD＝ED＝BE， ∴AB＝AE＋BE＝AD＋CD. 【例题2】如图，为边长是1的等边三角形，为顶角是的等腰三角形，以为顶点作一个角，角的两边分别交、于、，连结，形成一个．求的周长． 【解析】延长到，使，连结．易知在与中有，，，从而．所以，． 于是，在与中，有，， ． 从而，故． 所以 ． 【例题3】正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数。 【解析】解：延长EB到G，使得BG=DF， 在△ABG和△ADF中， 由 可得△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG=∠DAF，AG=AF， 又∵EF=BE+DF=EB+BG=EG，AE=AE， 在△AEG和△AEF中， ∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG=∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°，∴∠EAG+∠EAF=90°， ∴∠EAF=45°。 故答案为：∠EAF=45°。 【例题4】如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D． （1）求证：PD=DQ； （2）若△ABC的边长为1，求DE的长． 【答案】（1）证明略；（2） 【解析】（1）证明：如图， 过P做PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP=∠ACB，∠FPD=∠Q，∠PFD=∠QCD ∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，∴∠A=∠AFP=60°， ∴△APF是等边三角形；∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ，∴△PFD≌△QCD，∴PD=DQ． （2）△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE=EF，△PFD≌△QCD， ∴CD=DF，DE=EF+DF=AC，∵AC=1，DE=． 【进阶训练】 1.如图，AB=AC，∠ABD=60°，∠BDC=30°，若AB=BD+CD，则∠ADB=　 　． 【答案】75°． 【解析】以AD为轴作△ABD的对称△AB′D，则有B′D=BD，AB′=AB=AC，又∵∠B′=∠ABD=60°，∴△ACB'是等边三角形，而CD+DB'=AB=CB'，故C、D、B′在一条直线上，∵∠ADB'=∠ADB，∠ADB'+∠ADB+∠BDC=180°，∴∠ADB=（180°﹣∠BDC）=75°． 2. AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC。 【解析】证明：如图在CD上截取CF=BC，∴△FCE≌△BCE（SAS）， ∴∠2=∠1。 又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°， ∴∠DCE+∠CDE=90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°， ∴∠3=∠4。 在△FDE与△ADE中，∠3=∠4，DE=DE，∠FDE=∠ADE。 ∴△FDE≌△ADE（ASA），