专题3.2 函数的基本性质-《聚能闯关》2021-2022学年高一数学提优闯关训练（人教A版2019必修第一册）

专题3.2 函数的基本性质 闯关技巧 一、用定义证明函数的单调性 例1：证明：函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是减函数． 解析：设x1<x2≤－1，则Δx＝x2－x1>0， Δy＝f(x2)－f(x1)＝(2x＋4x2)－(2x＋4x1) ＝2(x－x)＋4(x2－x1) ＝2(x2－x1)(x1＋x2＋2)． ∵x1<x2≤－1，x1＋x2＋2<0，∴Δy<0. ∴f(x)在(－∞，－1]上是减函数． 答案：见解析 练习1：证明函数f(x)＝－在定义域上是减函数 答案：设x1、x2是[0，＋∞)内的任意两个实数，且x1<x2，则Δx＝x2－x1>0， Δy＝f(x2)－f(x1)＝－－(－)＝－ ＝＝ ∵x1－x2＝－Δx<0，+>0，Δy<0. ∴f(x)＝－在[0，＋∞)上是减函数． 练习2：设函数f(x)=,用单调性定义证明在（-1，+）上是减函数。 答案：设任意x1∈(－1，＋∞)，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2. f(x2)－f(x1)＝－ ＝ 二 、证明含参数的函数的单调性 例2：已知函数f(x)＝(a为常数且a≠0)，试判断函数f(x)在(－1,1)上的单调性． 解析　任取x1、x2，使得－1<x1<x2<1， 则Δx＝x2－x1>0. Δy＝f(x2)－f(x1)＝， ∵－1<x1<x2<1， ∴x1x2＋1>0，x－1<0，x－1<0， ∴，<0， ∴当a>0时，f(x2)－f(x1)<0， 故此时函数f(x)在(－1,1)上是减函数， 当a<0时，f(x2)－f(x1)>0， 故此时f(x)在(－1,1)上是增函数． 综上所述，当a>0时，f(x)在(－1,1)上为减函数， 当a<0时，f(x)在(－1,1)上为增函数． 答案：增函数． 三、 证明抽象函数的单调性 例3：已知函数y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(x)<0(x>0)，试判断F(x)＝在(0， ＋∞)上的单调性，并证明． 解析：F(x)在(0，＋∞)上为减函数．下面给出证明： 任取x1、x2∈(0，＋∞)，且Δx＝x2－x1>0. ∵Δy＝F(x2)－F(x1)＝ ＝， 又y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且Δx＝x2－x1>0， ∴Δy＝f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， ∴f(x1)－f(x2)<0. 而f(x1)<0，f(x2)<0，∴f(x1)f(x2)>0， ∴F(x2)－F(x1)<0， ∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数． 答案：减函数 四、 求函数的单调区间 例4：求函数y＝x＋，x∈(0，＋∞)的单调区间，并画出函数的大致图象． 解析：设x1、x2是任意两个不相等的正数，且x1<x2，则Δx＝x2－x1>0， Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x2＋)－(x1＋)＝(x2－x1)＋＝(x2－x1). 由于0<x1<x2，则x2－x1＝Δx>0，x1x2>0， 当x1、x2∈(0,1]时，有x1x2－1<0，此时Δy<0； 当x1、x2∈(1，＋∞)时，有x1x2－1>0，此时Δy>0， 即函数y＝x＋，x∈(0，＋∞)的单调减区间(0,1]，单调增区间是(1，＋∞)． 函数的大致图象如图所示． 答案：单调减区间(0,1]，单调增区间是(1，＋∞)。 五、 利用单调性解不等式 例5：已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(a2－1)，求a的取值范围． 解析：由题意可得 由①得0<a<2， 由②得0<a2<2，∴0<|a|<， ∴－<a<，且a≠0. 由③得a2＋a－2<0，即(a－1)(a＋2)<0， ∴或， ∴－2<a<1.综上可知0<a<1， ∴a的取值范围是0<a<1. 答案：0<a<1. 练习1：已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围． 答案：因为是增函数，所以x-2＜1-x x的取值范围为{x|1≤x＜} 练习2：函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，且a为实数，则有(　　) A．f(a)<f(2a)　　　　 B．f(a2)<f(a) C．f(a2＋1)<f(a) D．f(a2－a)<f(a) 答案：因为只有C能确定a2+1＞a 所以选 C， 六、 用单调性求最值 例6: 求f(x)＝x＋的最小值． 解析：f(x)＝x＋的定义域为[1，＋∞)， 任取x1、x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，Δx＝x2－x1>0， 则Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x2＋)－(x1＋)) ＝(x2－x1)＋()－)) ＝(x2－x1)＋ ＝(x2－x1)·1+. ∵Δx＝x2－x1>0,1＋>0， ∴f(x2)－f(x1)>0. ∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)min＝f(1