第04讲 全等三角形中的动点问题-2021-2022学年八年级数学上学期精选专题突破(苏科版)

第04讲 全等三角形中的动点问题 【解题策略】 1. 全等三角形中的动点问题，通过点的运动，用代数式表示线段的大小，从而寻找线段间的等量关系，建立方程，进而快速解题。 2. 策略：①明晰点的运动方向和运动速度；②根据已知和求证的目标，寻求线段或角之间的数量关系，进而解决问题。 【例题讲解】 【例题1】如图，点分别是边长为的等边的边上的动点（其中不与端点重合），点从顶点．点从顶点同时出发，且它们的速度都为．连接交于点，则在运动的过程中，下列结论：（1）；（2）；（3）的度数始终等于60；（4）当第秒成第秒时，为直角三角形，其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】 （1）等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ；（2）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60°；（4）设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论． 【详解】 解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°， 根据题意得：AP=BQ， ∴BP=CQ，故（1）正确； 在△ABQ和△CAP中， ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS），（2）正确； ∴∠AQB=∠CPA， ∵∠BAQ+∠APC+∠AMP=180°，∠BAQ+∠B+∠AQB=180°， ∴∠AMP=∠B=60°， ∴∠QMC=60°，（3）正确； 设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm， 当∠PQB=90°时， ∵∠B=60°， ∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=， 当∠BPQ=90°时， ∵∠B=60°， ∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=， ∴当第秒或秒时，△PBQ为直角三角形，（4）正确； 故选D． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABQ≌△CAP是解题的关键． 【变式1】如图，在等边△ABC中，AC=6，点O在AC上，且AO=2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（　　） 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【答案】 C． 【解析】在等边△ABC中，∠A=∠C=60°，∵旋转角是60°，∴∠AOP+∠COD=120°， 在△AOP中，∠AOP+∠APO=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°，∴∠APO=∠COD， 在△AOP和△CDO中，，∴△AOP≌△CDO（AAS），∴AP=CO， ∵CO=AC﹣AO=6﹣2=4，∴AP=4． 【例题2】如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以1.5cm/s的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过　 　秒后，点P与点Q第一次在△ABC的AC边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程） 【解答】解：（1）设运动时间为t，点Q的速度为v， ∵点D为AB的中点， ∴BD＝3， ∴BP＝t，CP＝4﹣t，CQ＝vt， 由于△BPD≌△CQP，且∠B＝∠C 当BP＝CQ时， ∴t＝vt， ∴v＝1， 当BP＝CP时， t＝4﹣t， ∴t＝2， ∴BD＝CQ ∴3＝2v， ∴v， 综上所述，点Q的速度为1cm/s或cm/s （2）设经过x秒后P与Q第一次相遇， 依题意得：1.5x＝x+2×6， 解得：x＝24（秒） 此时P运动了24×1＝24（cm） 又∵△ABC的周长为16cm，24＝16+8， ∴点P、Q在AC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在AC边上相遇． 【例题3】如图（1）AB=9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由； （2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明； （3）如图（2），将图（1）中