专题强化练习02 全等三角形——综合题(培优)-【多维练】2021-2022学年八年级数学上学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)

专题强化练习02 全等三角形—综合题(培优) 1．如图，在△ABC中AD是∠A的外角平分线，P是AD上一动点且不与点A，D重合，记PB+PC＝a，AB+AC＝b，则a，b的大小关系是（　　） A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．不能确定 【分析】可在BA的延长线上取一点E，使AE＝AC，得出△ACP≌△AEP，从而将四条不同的线段转化到一个三角形中进行求解，即可得出结论． 【详解】解：如图，在BA的延长线上取一点E，使AE＝AC，连接EP． 由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠CAP＝∠EAP， 在△ACP和△AEP中， ∴△ACP≌△AEP（SAS） ∴PC＝PE， 在△BPE中，PB+PE＞BE， 而BE＝AB+AE＝AB+AC， 故PB+PE＞AB+AC， 所以PB+PC＞AB+AC， ∵PB+PC＝a，AB+AC＝b， ∴a＞b． 故选：A． 2．（2021秋•东台市月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 　或3或或　cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等． 【分析】设点P在线段BC上运动的时间为t，分两种情况讨论，①点P由B向C运动时，△BPE≌△CQP②△BPE≌△CPQ，③点P由C向B运动时，△BPE≌△CQP，④△BPE≌△CPQ，根据全等三角形的对应边相等列方程解出即可． 【详解】解：设点P在线段BC上运动的时间为t， ①点P由B向C运动时，BP＝3t，CP＝8﹣3t， ∵△BPE≌△CQP， ∴BE＝CP＝5， ∴5＝8﹣3t， 解得t＝1， ∴BP＝CQ＝3， 此时，点Q的运动速度为3÷1＝3cm/s； ②点P由B向C运动时， ∵△BPE≌△CPQ， ∴BP＝CP， ∴3t＝8﹣3t， t＝， 此时，点Q的运动速度为：5÷＝cm/s； ③点P由C向B运动时，CP＝3t﹣8， ∵△BPE≌△CQP， ∴BE＝CP＝5， ∴5＝3t﹣8， 解得t＝， ∴BP＝CQ＝3， 此时，点Q的运动速度为3÷＝cm/s； ④点P由C向B运动时， ∵△BPE≌△CPQ， ∴BP＝CP＝4， 3t﹣8＝4， t＝4， ∵BE＝CQ＝5， 此时，点Q的运动速度为5÷4＝cm/s； 综上所述：点Q的运动速度为cm/s或3cm/s或cm/s或cm/s； 故答案为：或3或或． 3．如图，∠ACB＝90°，AC＝CD，过点D作AB的垂线交AB的延长线于点E．若AB＝2DE，则∠BAC的度数为（　　） A．45° B．30° C．22.5° D．15° 【分析】连接AD，延长AC、DE交于M，求出∠CAB＝∠CDM，根据全等三角形的判定得出△ACB≌△DCM，求出AB＝DM，求出AD＝AM，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解： 连接AD，延长AC、DE交于M， ∵∠ACB＝90°，AC＝CD， ∴∠DAC＝∠ADC＝45°， ∵∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°＝∠ACB＝∠DCM， ∵∠ABC＝∠DBE， ∴由三角形内角和定理得：∠CAB＝∠CDM， 在△ACB和△DCM中 ∴△ACB≌△DCM（ASA）， ∴AB＝DM， ∵AB＝2DE， ∴DM＝2DE， ∴DE＝EM， ∵DE⊥AB， ∴AD＝AM， ∴∠BAC＝∠DAE＝∠DAC＝＝22.5°， 故选：C． 4．在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线； ④∠EAM＝∠ABC，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据正方形的性质可得AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，然后求出∠CAE＝∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG＝CE，判定①正确；设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后求出∠CNG＝90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH＝∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM＝∠ABC判定④正确，全等三角形对应边相等可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP＝GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM＝GM，从而得到AM是△AEG的中线． 【详解】解：在正方形ABDE