第3练 勾股定理的简单应用(拔尖练习)-【多维练】2021-2022学年八年级数学上学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)

第3练 勾股定理的简单应用(拔尖练习) 1．如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【分析】如图所示，找出从A点到B点的最短距离的走法即可． 【详解】解：根据题意得出最短路程如图所示， 最短路程长为+1＝2+1， 则从A点到B点的最短距离的走法共有3种， 故选：C． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则△B'FC的面积为　　． 【分析】由题意可得AB＝10，根据S△ABC＝AB×EC＝AC×BC，可得CE＝，根据勾股定理可求BE＝，由折叠可求∠ECF＝45°，可得EC＝EF＝4.8，可求BF＝，由三角形面积公式可求解． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴BA＝10， ∵将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处， ∴∠AEC＝∠CED，∠ACE＝∠DCE， ∵∠AED＝180°， ∴∠CED＝90°，即CE⊥AB， ∵S△ABC＝AB×EC＝AC×BC， ∴EC＝， 在Rt△ACE中，AE＝＝＝， ∴BE＝10﹣＝， ∵将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处， ∴△BCF≌△B'CF，BF＝B'F，∠BCF＝∠B'CF， ∴S△BCF＝S△B'CF， ∵∠BCF+∠B'CF+∠ACE+∠DCE＝∠ACB＝90° ∴∠ECF＝45°且CE⊥AB ∴∠EFC＝∠ECF＝45° ∴CE＝EF＝， ∴BF＝﹣＝， ∴S△BCF＝××＝， ∴S△BCF＝S△B'CF＝， 故答案为：． 3．如图，某风景区的沿湖公路AB＝3千米，BC＝4千米，CD＝12千米，AD＝13千米，其中AB⊥BC，图中阴影是草地，其余是水面．那么乘游艇游点C出发，行进速度为每小时11千米，到达对岸AD最少要用　0.4　小时． 【分析】连接AC，在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据AC，CD，AD的长度符合勾股定理确定AC⊥CD，则可计算△ACD的面积， 又因为△ACD的面积可以根据AD边和AD边上的高求得，故根据△ACD的面积可以求得C到AD的最短距离，即△ACD中AD边上的高． 【详解】解：连接AC， 在直角△ABC中，AB＝3km，BC＝4km，则AC＝＝5km， ∵CD＝12km，AD＝13km，故存在AD2＝AC2+CD2 ∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴△ACD的面积为×AC×CD＝30km2， ∵AD＝13km，∴AD边上的高，即C到AD的最短距离为＝km， 游艇的速度为11＝km/小时， 需要时间为×小时＝0.4小时． 故答案为 0.4． 4．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝15．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，求此时AM+NB的长． 【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝MN，连接A'B，则A'B与直线b的交点即为N，过N作MN⊥a于点M．则A'B为所求，利用勾股定理可求得其值． 【详解】解：过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点M，过F作直线a的垂线，交直线a于点N，连接AN，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，如图． ∵AA′⊥a，MN⊥a， ∴AA′∥MN． 又∵AA′＝MN＝4， ∴四边形AA′NM是平行四边形， ∴AM＝A′N． 由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小． 由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B． ∵AE＝2+3+4＝9，AB＝15， ∴BE＝＝12， ∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5， ∴A′B＝＝13 所以AM+NB的最小值为13． 5．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC＝90°）． 请详解： （1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是　S1+S2＝S3　． （2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是　S1+S2＝S3　，请说明理由． （3）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠