专题强化练习02 一元二次方程的综合应用(拔尖)-【多维练】2021-2022学年九年级数学上学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)

专题强化练习02 一元二次方程的综合应用（拔尖） 1．关于x的方程kx2+（2k+1）x+k﹣1＝0的根都是正整数，则k的值为　0，1　． 【分析】分k＝0和k≠0两种情况讨论．当k＝0时，所给方程为x﹣1＝0，有整数根x＝1；当k≠0时，所给方程为二次方程，根据根与系数的关系即可求出k的值，然后用Δ＞0验证k是否符合题意即可． 【详解】解：当k＝0，方程变为：x﹣1＝0，解得方程有正整数根为x＝1； 当k≠0，Δ＝（2k+1）2﹣4×k×（k﹣1）＝﹣3k2+6k+1＝8k+1， 一元二次方程都是正整数根，则△必须为完全平方数， 当Δ＝9，则k＝1； 当Δ＝4，则k＝， 当Δ＝16时，k＝； 当Δ＝0，则k＝﹣； 而x＝， 当k＝1，解得x＝0或﹣3； 当k＝，解得x＝﹣或﹣； 当k＝，解得x＝或﹣； 当k＝﹣， 解得x都不为整数，并且k为其它数△为完全平方数时，解得x都不为整数． ∴当k为0、1关于x的方程kx2+（2k+1）x+k﹣1＝0的根都是正整数． 故答案为：0，1． 2．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，则甲药品成本的年平均下降率　等于　乙药品成本的年平均下降率（用“大于”“小于”或“等于”填空） 【分析】设甲药品成本的年平均下降率为x，乙药品成本的年平均下降率为y，由题意得两个一元二次方程，化简后发现两个方程右边相等，故两方程左边相等，从而可得答案． 【详解】解：设甲药品成本的年平均下降率为x，由题意得： 5000（1﹣x）2＝3000 化简得：（1﹣x）2＝① 设乙药品成本的年平均下降率为y，由题意得： 6000（1﹣y）2＝3600 化简得：（1﹣y）2＝② 比较①②得：（1﹣x）2＝（1﹣y）2 ∴1﹣x＝1﹣y或1﹣x＝﹣（1﹣y） \∴x＝y或x+y＝2（不合题意，舍去） ∴x＝y 故答案为：等于． 3．已知矩形ABCD的周长的平方与面积的比为k．则矩形ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比等于　　． 【分析】根据矩形ABCD的周长的平方与面积的比为k得到相应的等式，整理为整式后，设矩形ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比为未知数，用求根公式求解即可． 【详解】解：设矩形的长、宽分别为a、b（a≥b）． 则＝k，即4a2+（8﹣k）ab+4b2＝0． 两边都除以b2， 令t＝，则4t2+（8﹣k）t+4＝0． 解得t＝． 故答案为：． 4．燃放烟花爆竹是中国春节的传统民俗．某品牌的烟花2013年除夕每箱进价100元，售价250元，销售40箱．而2014年除夕当天和去年相比，该店的销售量下降了4a%（a为正整数），每箱售价提高了a%，成本增加了50%，其销售利润仅为去年当天利润的50%，则a的值为　10　． 【分析】根据等量关系：2014年销售利润仅为2013年当天利润的50%列出关系式，解方程即可确定出a的值． 【详解】解：根据题意得：40（1﹣4a%）×[250（1+a%）﹣（1+50%）×100]＝40×（250﹣100）×50%， 整理得：（1﹣4a%）（100+2.5a）＝75，即（a+25）（a﹣10）＝0， 解得：a＝﹣25（舍去）或a＝10， 则a的值为10． 故答案为：10． 5．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售． （1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？ （2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值． 【分析】（1）设打x折销售，根据利润率＝≥10%，列方程可得结论； （2）等量关系为：（售价﹣成本）×销售量＝利润；原售价基础上每箱降价3m%，每天可多销售m%，依此列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）设打x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%， 由题意得：≥10%， x≥8.8， 答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%； （2）由题意得：5000（1+m%）[50（1﹣3m%）+m﹣40]＝49000， 5（1+）（50﹣m+m﹣40）＝49， m2﹣5m﹣6＝0， m1＝6，m2＝﹣1（舍）． 6．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空