第四章 指数函数与对数函数 专题4 与函数零点有关的参数问题-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）

第4章 指数函数与对数函数 专题4 与函数零点有关的参数问题 函数与方程问题常以基本初等函数或分段函数为载体，考查函数零点的存在区间、确定零点个数、参数的取值范围、方程的根或函数图象的交点等问题，考查学生函数与方程、数形结合及转化划归等数学思想等的 综合运用。 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度较大． 【题型导图】 类型一 由零点所在区间求参数问题 例1：（2021·全国高一专题练习）函数 的一个零点在区间 内，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为 和 在 上是增函数， 所以 在 上是增函数， 所以只需 即可，即 ，解得 . 故选：D． 【变式1】若函数 在区间 上有零点，则 的值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为函数 在 上有零点，所以方程 在 上有解， 所以 在 上有解，即 在 上有解， 因为 ，所以 ， 所以 ， 故 的值可能是 ， 故选：A. 【变式2】（2021·江苏盐城·高一期末）已知函数 在区间 上有唯一零点，则正整数 （ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】 解： 在 上单调递减， 故 最多有一个零点， 函数 在区间 上有唯一零点， ， ， ， 故函数 在区间 上有唯一零点， 故 ， 故选：C. 【变式3】（2021·辽宁丹东·高一期末）若函数 的三个零点分别是 ，且 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为函数 的三个零点分别是 ，且 ， 所以 ， ，解得 ， 所以函数 ， 所以 ，又 ，所以 ， 故选：D． 【痛点直击】由函数在区间上存在零点求参数问题，要熟练运用零点存在性定理，若函数在某区间上有唯一的零点，还要说明该函数在区间上为单调函数。 类型二 由指数、对数、幂函数的零点求参数问题 例2.（2021·上海）如果关于 的方程 有实数根，那么实数 的取值范围________ 【答案】 【详解】 因为关于 的方程 有实数根，即 有实数根， 令 ，则 ，则 在 上有实数解， 因为 在 上单调递减，所以 . 故答案为： 【变式1】（2021·上海市第二中学高一期末）关于 的方程 有实数根，则实数 的取值范围为________ 【答案】 【详解】 设 ，则 值域为 ， 所以方程 有实数根，等价于 ， 即 ，解得： ， 所以实数 的取值范围为 ， 故答案为： 【变式2】（2021·上海市南洋模范中学）已知 是函数 的一个零点， 是函数 的一个零点，则 _________． 【答案】 【详解】 由题意得 又 和 图象关于 对称，且 图象也关于 对称，不妨设 ，所以 也关于 对称，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，又 ， ． 故答案为：3． 【变式3】（2021·上海高一课时练习）若常数 使得关于 的方程 有唯一解，求 的取值范围． 【答案】 【详解】 由 ，解得 或 . 由已知可得 ，可得 ， 所以， 在 时有唯一解 ， 作出函数 在 的图象如下图所示： 因为 ， ， 由图可知，当 时，直线 与函数 在 上的图象有且只有一个交点， 因此，实数 的取值范围是 . 【痛点直击】这类题的解题方法是数形结合思想，即把函数的零点转化为方程的根，又转化为函数图象交点的横坐标，然后利用对称性得出结论．这是解决方程根的分布和函数零点个数等问题中的常用方法。 类型三 二次函数的零点问题 例3.（2021·河北正定中学高一开学考试）对于函数f(x)和g(x)，设 ， ，若存在 使得 ，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”.若函数f(x)=ex-1+x-2与g(x)=x2-ax-a+3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（ ） A．[2，3] B． C． D．[1，2] 【答案】A 【详解】 依题意，函数 是R上的单调递增，且 ，即 ，于是得g(x)零点 满足 ，解得 ， 因此，函数 在区间 上存在零点，即方程 在区间 上存在实数根， 整理可得： ，令 ， 则函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增， 于是得 ，而 ， ，函数 的值域为 ，从而得 ， 所以实数 的取值范围是 . 故选：A 【变式1】（2021·全国高一课时练习）设 ，关于 的方程 有两实数根 ， ，且 ，则实数 的取值范围是______． 【答案】 或 【详解】 解：因为关于 的方程 有两实数根 ， ，且 ，且对应二次函数设为 ，开口向上，且 ，所以 ，解得 或 ， 故答案为： 或 . 【变式2】（2021·四川仁寿一中高一开学考试）已知函数 . （1）若方程 有两个正根.求 的取值范围； （2）若函数 至少有一个大于 的零点，求 的取值范围. 【答