第四章 指数函数与对数函数 专题3 与含参对数函数单调性有关的问题-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）

第4章 指数函数与对数函数 专题3 与含参对数函数单调性有关的问题 解决含参对数函数的单调性问题，要结合对数函数的单调性，对参数进行讨论，结合函数的单调性、图象、最值来解，期间要注意对数式的真数必须大于0。 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度较大． 【题型导图】 类型一 由对数型函数单调性求参数 例1：已知 是 ， 上的减函数，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 令 ， 因为 ， 所以 在R上是减函数， 在 ， 上是减函数， 则 在 上是增函数， 所以 ，解得 ， 故选：B 【变式1】已知函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由条件可知，函数 在 上是减函数， 需满足 ，解得： . 故选：C 【变式2】（2021·湖南高一期末）已知函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 根据复合函数的单调性可知，若函数在区间 上单调递增， 需满足 ，解得： . 故选：D 【变式3】已知函数 对任意两个不相等的实数 ，都满足不等式 ，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【详解】 由不等式 可知， 在 上单调递增， 又因为 在 上单调递减， 则 在 上单调递减，且 在 上恒成立， 所以 ， 解得 ． 故答案为： 【痛点直击】解决对数型函数的单调性有关的问题，注意复合函数单调性的“同增异减”原则，另外对数式不要忘记真数必须大于0。 类型二 由对数型函数的最值求参数 例2.（2021·安徽安庆·高一期末）已知函数 在区间 上有最小值，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 令 ，为开口向上的抛物线，对称轴为 函数 在区间 上有最小值， 则 在 上先减后增， 所以 ， 解得 . 故选：A. 【变式1】（2021·全国高一课时练习）已知 ，定义在A上的函数 （ 且 ）的最大值比最小值大1，求底数a的值. 【答案】 或 . 【详解】 因为 （ 且 ）是单调函数， 所以其在集合 上的最大值，最小值一定在端点处取得， 所以有 或者 ， 所以 或 . 【变式2】（2021·广东潮州·高一期末）已知函数 是奇函数，且 ； （1）判断函数 在区间 的单调性，并给予证明； （2）已知函数 （ 且 ），已知 在 的最大值为2，求 的值． 【答案】（1）函数 在区间 是递增函数；证明见解析；（2） 或 ． 【详解】 （1）∵ 是奇函数，∴ ， 又 ，且 ， 所以 ， ，经检验 ， 满足题意． 得 ，所以函数 在区间 是递增函数． 证明如下： 且 ，所以有： EMBED Equation.DSMT4 由 ，得 ， ，又 ，故 ， 所以 ，即 ，所以函数 在区间 是递增函数． （2）令 ，由（1）可得 在区间 是递增函数， ①当 时， 是减函数，故当 取得最小值时， （ 且 ）取得最大值2， 在区间 的最小值为 ，故 的最大值是 ，∴ ． ②当 时， 是增函数，故当 取得最大值时， （ 且 ）取得最大值2， 在区间 的最大值为 ，故 的最大值是 ， ． ∴ 或 【变式3】已知 ( ，且 )， . （1）若函数 的图象恒过定点A，求点A的坐标； （2）若函数 在区间 上的最大值比最小值大 ，求a的值. 【答案】（1） ；（2） 或4． 【详解】 （1）当 ，即 时， ， 所以点A的坐标为 . （2）因为 ，所以 . 当 时，函数 在区间 上是减函数， 所以当 时，函数 有最大值，且 ， 当 时，函数 有最小值，且 ， 因为 ， 所以 ， 所以 . 当 时，函数 在区间 上是增函数， 所以当 时，函数 有最小值，且 ， 当 时，函数 有最大值，且 ， 因为 ， 所以 ， 所以 . 综上所述， 或 . 【痛点直击】解决对数型函数最值有关的问题，要利用函数的单调性求最值，当单调性不确定时，要按照参数进行讨论，要注意函数的定义域对单调区间的限制。 类型三 由对数型不等式求参数的值 例3.（2021·四川郫都·高一期末）若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：由于 ， ，可得 ， ， 当 时 ，则 ，在 不恒成立； 故 ， 由 在 单调递增， 在 单调递减， 可得 在 单调递增， 则 的最大值为 ， 由题意可得 ， 即有 ， 解得 ， 故选： ． 【变式1】当 时， （ 且 ），则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意可得当 时， 的图象位于 图象的下方， 所以 在 单调递增，所以 为减函数， 所以 ，