第四章 指数函数与对数函数 专题2 指数型函数单调性与最值的应用-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）

第4章 指数函数与对数函数 专题2 指数型函数单调性与最值的应用 指数型函数的单调性问题属于复合函数的单调性问题，解决复合函数的单调性要遵循“同增异减”的原则。 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大． 【题型导图】 类型一 指数型函数的最值 例1：（2021·江苏高一）函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 令 ， 则 ， 因为 在R上单调递减， 所以 ， 故函数 的值域为 ， 故选：C 【变式1】若 ，则函数 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ， ， 设 ， 则 ， 故 ， 即函数 的最小值为 ． 故选A． 【变式2】（2021·全国高一课时练习）已知 ，求函数 的最大值． 【答案】2 【详解】 因为 EMBED Equation.DSMT4 ， 令 ，则 ， 因为 ，所以 ，即 ， 又因为对称轴 ， 所以当 ，即 时， ． 【变式3】已知幂函数 在 上是增函数. （1）求 的解析式； （2）若 ，求 的最大值. 【答案】（1） ；（2）最大值为16. 【详解】 (1)因为 是幂函数， 所以 ， 即 或 ， 因为 在 上是增函数， 所以 ，即 ，则 ，故 . (2)因为 为R上的增函数， 所以 ，解得 . 故 的取值范围为 ， 所以y的最大值为16. 【痛点直击】求指数型函数的最值问题，应考虑指数型函数的单调性，进而求其最值。 类型二 含参数的指数型函数的最值问题 例2.（2021·湖北恩施·）已知函数 ． （1）当 时，求函数 的零点； （2）若 ，求 在区间 上的最大值 ． 【答案】（1） ；（2） . 【详解】 （1）当 时， ， ，由 ，可得 ，解得 ， 即当 时，函数 的零点为 ； （2）令 ，即求 在区间 上的最大值． 当 时，二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 . ①当 时，即当 时，函数 在区间 上单调递增，则 ； ②当 时，即当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 因为 ， ， ，则 ； ③当 时，即当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 此时， ，则 ； ④当 时，即当 时，函数 在区间 上单调递减， 所以， . 综上所述， . 【变式1】函数 在区间 上的最大值比最小值大 ，则实数 的值为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为 在区间 上是增函数， 所以 ， ， 因此 ，解得 或 （舍去）， 故选D. 【变式2】（2021·云南玉溪·高一期末）已知函数 的值域为 ，若不等式 在 上恒成立，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题意，函数 的值域为 ，可得函数 的最大值为 ， 当 时，函数 显然不存在最大值； 当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，当 时，函数 有最大值，即 ，解得 ； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 此时函数 无最大值， 所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 由 在 上恒成立，可得 ； 由 在 上恒成立，即 在 上恒成立，可得 ； 由 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 令 ，可得函数 在 上单调递增，所以 ，即 ， 综上可得 ，即实数 的取值范围是 . 故选：A. 【变式3】（2021·广西河池·）已知函数 ． （1）判断函数 的奇偶性； （2）证明：函数 在区间 上单调递增； （3）令 （其中 ），求函数 的值域． 【答案】（1）函数 为偶函数；（2）证明见解析；（3） 【详解】 （1）函数 的定义域为 ， 又 ， 所以函数 为偶函数. （2）证明：设 ，则 ， ， ∵ ， ∴ ， ， ， ∴ ， 故函数 在区间 上单调递增. （3）因为 ， 所以 ， 由（2）和 可知，函数 在区间 上的值域为 ， 又由函数 为偶函数，可知函数 在 上的值域为 ， 令 ，可得 ，则 ， 有 ， ①当 时， ，此时函数 的值域为 ②当 时， ，时函数 的值域为 因为函数 和函数 的值域一样， 所以当 时，函数 的值域为 ； 当 时，函数的值域为 . 【痛点直击】含参的指数型函数最值问题，应根据函数的单调性由参数分类讨论，按其单调性求最值。 类型三 由指数型函数最值求参数的值 例3.（2021·全国高一课时练习）若指数函数 在 上的最大值与最小值的和为 ，则 （ ） A． 或 B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为函数 为指数函数，所以 . 当 时， 在 上的最大值为 ，最小值为 ，则 ，解得 或 （舍）； 当 时， 在 上的最大值为 ，最小值为 ，则 ，解得 （舍）或 （舍）. 综上可知， . 故选：C. 【变式1】已知 （ 且 ），若 有最小