专题04 特殊四边形的综合证明与探究创新-【备考集训】2021-2022学年九年级数学上学期专题训练+期中期末全真模拟卷(北师大版)

专题04 特殊四边形的综合证明与探究创新 （时间：90分钟 分值：100分） 1、 选择题（每题3分，共9分） 1、如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为(　　)　　　　　　　　 A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B　 【解析】由折叠可知∠EFC＝∠EFC′＝125°.∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF＝∠DEF＝55°，∴∠BED＝110°.∵四边形ABCD为矩形，∠A＝90°，∴∠ABE＝110°－90°＝20°.故选B. 2、如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P、P′分别是EF、E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为(　　) A．28 B．24 C．32 D．32－8 【答案】A　 【解析】如图，连接BD，DF，DF交PP′于H.由题意得PP′＝AA′＝AB＝CD，PP′∥AA′∥CD，∴四边形PP′CD是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形．∵AF＝FB，∴DF⊥AB，DF⊥PP′.∵AF＝AB＝4，AD＝8，∴DF＝4.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∠A＝60°，AF＝4，则∠AFE＝30°，∴AE＝2，EF＝2，∴PE＝PF＝.在Rt△PHF中，∵∠FPH＝30°，PF＝，∴HF＝PF＝，∴DH＝DF－HF＝4－＝，∴S▱PP′CD＝×8＝28.故选A. 3、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为(　　) A. B．2 C．2 D. 【答案】B　 【解析】连接PB.∵点P在正方形ABCD的对角线AC上，∴PD＝PB，∴PD＋PE的最小值就是PB＋PE的最小值，∴PD＋PE的最小值就是BE.∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB.∵S正方形ABCD＝12，∴BE2＝AB2＝12，即BE＝2，故选B. 2、 填空题（每题3分，共9分） 4、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为________． 　　 【答案】 【解析】　如图，连接BF交AE于H，由折叠的性质可知BE＝FE，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，∴AH⊥BF，BH＝FH.∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝BC＝3.又∵AB＝4，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝5.∵S△ABE＝AB·BE＝AE·BH，∴BH＝，则BF＝2BH＝.∵E是BC的中点，∴FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°.在Rt△BFC中，由勾股定理得CF＝＝＝. 5、正方形的边长为12，点在上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是　　． 【答案】13 【解析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．解：如图连接AE交BD于P点，则AE就是PE+PC的最小值， ∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE＝5，∵AB＝12，∴AE＝＝13， ∴PE+PC的最小值是13．故答案为：13． 6、点是菱形的对角线上的一个动点，已知，，点，分别是，边上的中点，则的周长最小值是　　． 【答案】1+ 【解析】作M关于AC的对称点M'，连接M'N，则△MPN的周长最小值为MN+M'N；MN＝AC＝，M'N＝CD＝1，即可求解； 解：作M关于AC的对称点M'，连接M'N，则△MPN的周长最小值为MN+M'N； ∵菱形ABCD，点M，N分别是AB，BC边上的中点，∴MN＝AC， ∵AB＝1，∠ADC＝120°，∴AC＝，∴MN＝， ∵M'N∥CD，∴M'N＝CD＝1，∴MN+M'N＝1+， ∴△MPN的周长最小值为1+，故答案为1+； 3、 解答题（共82分） 7、（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts． (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形； (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形； (3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积． 【答案】（1）8；（2）6；（3）,40cm,80cm2. 【详解】（