第03讲 半角模型-2021-2022学年八年级数学上学期精选专题突破(苏科版)

第03讲 半角模型 【解题策略】 1. 定义：由一组共端点的等线段和共顶点的倍半角组成的图形称为半角模型. 2. 策略：“半角模型，必旋转” 【注意】 （1）旋转角通常为较大角的度数； （2）旋转后，需证明三点共线； （3）旋转后，再证一组共旋转点的三角形全等.（“一转成双”） 3. 常见的半角模型有： （1）如图1，在等边三角形ABC中，∠EAF=30°. 图1-1 图1-2 （2）如图2，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ECF=45°. 图2-1 图2-2 （3）如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°； 图3-1 图3-2 （4）如图4，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∠EAF=60°. 图4-1 图4-2 【例题讲解】 【例题1】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC上，∠EAF=45°，连接EF. 试判断BE，EF，FD之间的数量关系； （1） 【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论． （2）【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么样的数量关系时，仍有EF=BE+FD，并说明理由． （3）【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD，已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F．且AE⊥AD，DF=40（）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，直接写出这条道路EF的长． 【解答】（1）证明：如图（1）， 由旋转变换的性质可知，△ADG≌△ABE， ∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，∠ADG=∠ABE=90°， ∵∠ADF=90°， ∴∠ADG+∠ADF=180°，即G，D，F三点共线． ∵∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠BAE=45°， ∴∠GAF=∠FAE， 在∠AFE和△AFG中， ， ∴∠AFE≌△AFG， ∴FG=FE， ∵DG=BE， ∴GF=BE+DF， ∴BE+DF=EF； （2）解：∠BAD=2∠EAF， 理由如下：如图（2）， 延长CB至M，使BM=DF，连接AM， ∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°， ∴∠D=∠ABM， 在△ABM和△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF， ∴AF=AM，∠DAF=∠BAM， ∵∠BAD=2∠EAF， ∴∠DAF+∠BAE=∠EAF， ∴∠EAF=∠EAM， 在△EAF和△EAM中， ， ∴△EAF≌△EAM， ∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，即EF=BE+DF； （3）解：如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF． ∵BAD=150°，AE⊥AD， ∴∠BAE=60°，又∠B=60°， ∴△BAE是等边三角形， ∴BE=AB=80， 由（2）得，EF=DG+DF=BE+DF=80+40（）=40+40（米）， 即这条道路EF的长为40+40米． 【变式1】如图，为边长是1的等边三角形，为顶角是的等腰三角形，以为顶点作一个角，角的两边分别交、于、，连结，形成一个．求的周长． 【解析】延长到，使，连结．易知在与中有，，，从而．所以，． 于是，在与中，有，， ． 从而，故． 所以 ． 【变式2】如图，在四边形ABCD中，AD//BC，，，，E为CD上一点，且. 若CD=4，则△ABE的面积为________. 【答案】 【解答】作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，使得FG=DE． ∵AD∥BC， ∴∠BCD+∠ADC=180°， ∴∠ADC=∠BCD=∠AFC=90°， ∴四边形ADCF是矩形， ∵∠CAD=45°， ∴AD=CD， ∴四边形ADCF是正方形， ∴AF=AD，∠AFG=∠ADF=90°， ∴△AFG≌△ADE， ∴AG=AE，∠FAG=∠DAE， ∴∠FAG+∠FAB=∠EAD+∠FAB=45°=∠BAE， ∴△BAE≌△BAG， ∴BE=BG=BF+GF=BF+DE， 设BC=a，则AB=4+a，BF=4-a， 在Rt△ABF中，42+（4-a）2=（4+a）2，解得a=1， ∴BC=1，BF=3，设BE=b，则DE=b-3，CE=4-（b-3）=7-b． 在Rt△BCE中，12+（7-b）2=b2，解得b=， ∴BG=BE=， ∴S△ABE=S△ABG=××4=． 【进阶训练】 【例题2】（2021·吉林中考真题）实践与探究 操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过