第02讲 手拉手模型-2021-2022学年八年级数学上学期精选专题突破(苏科版)

第02讲 手拉手模型 【解题策略】 常见模型： 【例题讲解】 【例题1】在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°． （1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=12，EC=5． ①求证：AF⊥BD， ②求AF的长度； （2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时．求证：AF⊥BD； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数，若不是，请说明理由． 图1 图2 图3 【答案】（1）①证明：如图3， ∵AC=BC，∠ACB=∠ECD=90°，EC=DC， ∴△ACE≌△BCD， ∴∠1=∠2， ∵∠3=∠4， ∴∠BFE=∠ACE=90°， ∴AF⊥BD． ②∵∠ECD=90°，BC= AC=12，DC= EC=5， ∴BD=13， ∵S△ABD=AD·BC=BD·AF， ∴AF=． 图3 （法2：∵∠ECD=90°，BC= AC=12，DC= EC=5，∴AE=BD=13，BE=7，设EF=x， ∵∠BFE=90°，∴BF2=BE2-EF2，BF2=AB2-AF2，∴72-x2=288-（13+x）2， ∴x=，∴AF=13+=．） （2）证明：如图4，∵∠ACB=∠ECD， ∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD， ∴∠BCD=∠ACE， ∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，EC=DC， ∴△ACE≌△BCD， ∴∠1=∠2， ∵∠3=∠4， ∴∠BFA=∠BCA=90°， ∴AF⊥BD． （3）∠AFG=45°． 如图4，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N， ∵△ACE≌△BCD，∴S△ACE=S△BCD，AE=BD， ∵S△ACE=AE·CN， S△BCD=BD·CM， ∴CM=CN， ∵CM⊥BD，CN⊥AE， ∴CF平分∠BFE， ∵AF⊥BD，∴∠BFE=90° ∴∠EFC=45°，∴∠AFG=45° （法2：过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N， ∵CM⊥BD，CN⊥AE， ∴∠BMC=∠ANC=90°， ∵△ACE≌△BCD ∴∠1=∠2， ∵∠BMC=∠ANC=90°，∠1=∠2，AC=BC， ∴△BCM≌△ACN，∴CM=CN， ∵CM⊥BD，CN⊥AE， ∴CF平分∠BFE， ∵AF⊥BD，∴∠BFE=90°， ∴∠EFC=45°，∴∠AFG=45°．） 图4 【例题2】如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一 条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH． （1） 请说出AD=BE的理由； （2） 试说出△BCH≌△ACG的理由； （3） 试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明； （4） 设AD与BE交于点P，求证：CP平分∠BPD. 【答案】解：（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形 ∴AC=BC，EC=DC ∠ACB=∠ECD=60° ∴∠ACD=∠ECB ∴△ACD≌△BCE ∴AD=BE； （2）∵△ACD≌△BCE ∴∠CBH=∠CAG ∵∠ACB=∠ECD=60°，点B、C、D在同一条直线上 ∴∠ACB=∠ECD=∠ACG=60° 又∵AC=BC ∴△ACG≌△BCH； （3）△CGH是等边三角形，理由如下： ∵△ACG≌△BCH ∴CG=CH（全等三角形的对应边相等） 又∵∠ACG=60° ∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形） （4）略 【例题3】（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形中，．点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，． （1）证明：； （2）如图2，连接，，交于点． ①证明：在点的运动过程中，总有； ②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？ 【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②当的长度为2或时，为等腰三角形 【详解】 解：（1）∵线段绕点A逆时针方向旋转得到， ∴AH=AG，∠HAG=90°， ∵在等腰直角三角形中，，AB=AC， ∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG， ∴； （2）①∵在等腰直角三角形中，AB=AC，点，分别为，的中点， ∴AE=AF，是等腰直角三角形， ∵AH=AG，∠BAH =∠CAG， ∴， ∴∠AEH=∠AFG=45°， ∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即：； ②∵，点，分别为，的中点， ∴AE=AF=2，