第01讲 一线三等角模型-2021-2022学年八年级数学上学期精选专题突破(苏科版)

第01讲 一线三等角模型 【解题策略】 一线三等角模型： 【例题讲解】 【例题1】如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（D不与A、B重合），连接CD，作∠CDE=30°，DE交线段AC于E． （1）当DE∥BC时，△ACD的形状是　 　三角形（填锐角、直角或钝角）；当∠BCD=15°时，∠EDA=　 　； （2）请添加一个条件，使得△ADE≌△BCD，并说明理由； （3）在点D运动的过程中，△CDE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠AED的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】直角；15° 【解析】（1）①∵DE∥BC，∠CDE=30°，∴∠BCD=30°， ∵∠ACB=120°，∴∠ACD=90°，∴△ACD的形状为直角三角形， ②∵BC=AC，∠ACB=120°，∴∠A=∠B=30°， ∵∠BCD=15°，∴∠CDA=45°， ∵∠CDE=30°，∴∠EDA=15°； （2） 添加条件AD=BC， ∵BC=AC，∠ACB=120°，∴AC=AD，∠ACD=∠ADC，∠A=∠B=30°， ∵∠CDB=∠A+∠ACD，∠AED=∠ACD+∠CDE， ∴∠A=∠CDE，∠AED=∠BDC， ∴∠AED=∠BDC， ∵在△AED和△BDC中，， ∴△AED≌△BDC（AAS）； （3）△CDE的形状可以是等腰三角形，∠AED的度数为105°或60°． 【变式1】如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是　 　三角形． 【答案】等边． 【解析】过D作AC的平行线交AB于P， ∴△BDP为等边三角形，BD=BP， ∴AP=CD， ∵∠BPD为△ADP的外角， ∴∠ADP+∠DAP=∠BPD=60°。 而∠ADP+∠EDC=180°﹣∠BDP﹣∠ADE=60°， ∴∠ADP+∠DAP=∠ADP+∠EDC=60° ∴∠DAP=∠EDC，在△ADP和△DEC中，， ∴△ADP≌△DEC（ASA）， ∴AD=DE，∵∠ADE=60°， ∴△ADE是等边三角形． 【变式2】已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边的中点，经过点C引一条直线l（不与AC、BC重合并且不经过点D）操作：经过点A作AE⊥l，经过点B作BF⊥l，连接DE、DF，猜想△DEF的形状并证明． 【答案】解：△DEF为等腰直角三角形； 证明：如图，连接CD， ∵AE⊥CE，BF⊥CE，∴∠AEC=∠BFC=90°， ∵∠ACE+∠BCF=90°，∠BCF+∠CBF=90°， ∴∠ACE=∠CBF， 在△ACE与△CBF中，， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE=CF，∠CAE=∠BCF， ∵∠CAB=∠DCB=45°， ∴∠FCD=∠DAE，又AD=CD， ∴△AED≌△CFD， ∴ED=FD，∠ADE=∠CDF， ∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°， ∴△DEF为等腰直角三角形． 【例题2】如图①，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C(不需要证明)； (1)如图②，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B，C分别在∠MAN的边AM，AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D.求证：△ABD≌△CAF； (2)如图③，点B，C分别在∠MAN的边AM，AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1，∠2分别是△ABE，△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC.求证：△ABE≌△CAF. 【解答】证明：(1)∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°， ∴∠BDA＝∠AFC＝90°， ∴∠ABD＋∠BAD＝90°， ∠BAD＋∠CAF＝90°， ∴∠ABD＝∠CAF. 在△ABD和△CAF中， ∵∠ADB＝∠CFA，∠ABD＝∠CAF，AB＝CA， ∴△ABD≌△CAF(A.A.S.)． (2) ∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE＋∠ABE， ∠BAC＝∠BAE＋∠CAF，∠2＝∠ACF＋∠CAF， ∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠ACF. 在△ABE和△CAF中， ∵∠ABE＝∠CAF，AB＝CA，∠BAE＝∠ACF， ∴△ABE≌△CAF． 【变式1】 如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB=CE；④AD－BE=DE. 正确的是 （将你认为正确的答案序号都写上）。 【答案】 ①、②、④ 【解析】∵∠BEC=∠ADC=90°，∠BCE=∠CAD， ∴①∠ABE=∠BAD正确；