第18讲 任意角和弧度制,三角函数的概念-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习讲义（基础版，全国通用版）

第18讲 任意角和弧度制,三角函数的概念 1．任意角、角的分类： ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角： 终边与角相同的角可写成． 2.弧度制： ①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径． ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关． 3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． 若一个角的弧度数为，角度数为，则，． 知识点2．三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义： 设是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点，那么 （1）点的纵坐标叫角α的正弦函数，记作； （2）点的横坐标叫角α的余弦函数，记作； （3）点的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数． 2． 三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 知识点3．扇形的弧长及面积公式 (1)弧长公式 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则变形可得，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度． (2)扇形面积公式， 题型一：任意角的概念 1．（2021·全国高二课时练习）钟表的分针在1.5小时内转了（ ） A．180° B．-180° C．540° D．-540° 【答案】D 【详解】 根据顺时针为负角，则分针在1.5小时内转了 ， 故选：D 2．（2021·河北张家口·）某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 分针需要顺时针方向旋转，即弧度数为. 故选：A. 3．（2021·咸阳百灵学校高一月考）若将钟表调快5分钟，则分针转动角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：将钟表的分针拨快5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为， 故选：C 4．（2021·全国高一课前预习）将分针拨快30分钟，则分针转过的弧度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 将分针拨快30分钟，则分针顺时针旋转180°，所以分针转过的弧度数是. 故选：A 5．（2021·江苏宿迁·）小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，他需要将时钟的时针旋转（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 时钟上一圈的弧度是，共12个刻钟，每个刻钟相隔， 现在时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，小亮需要将时针顺时针旋转， 针顺时针旋转为负角，故他需要将时钟的时针旋转. 故选：B. 题型二：终边相同的角的集合 1．（2021·全国高二课时练习）下列各角，与330°角的终边相同的角是（ ） A．510° B．150° C．-150° D．-390° 【答案】D 【详解】 与330°角的终边相同的角为， 当时， ， 故选：D 2．（2021·银川三沙源上游学校高一月考（文））在0°~360°范围内，与－690°角的终边相同的角是（ ） A．150° B．210° C．30° D．330° 【答案】C 【详解】 令， 则 ， 令，得， 故选：C 3．（2021·北京十五中高一期中）在0360°范围内，与角终边相同的角是（ ） A．17° B．107° C．197° D．287° 【答案】D 【详解】 与角终边相同的角可表示为，令得. 故选：D. 4．（2021·全国高一课时练习）下列各角中，与终边相同的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 与终边相同的角为， 当时，， 故选：C 5．（2021·全国高一课时练习）在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是(　　) . A．170° B．190° C．－190° D．－170° 【答案】C 【详解】 与1250°角的终边相同的角α＝1250°＋k·360°，∵－360°<α<0°，∴－<k<－， ∵k∈Z，∴k＝－4，∴α＝－190° 题型三：象限角 1．（2021·全国高二课时练习）下列各角，与330°角的终边相同的角是（ ） A．510° B．150° C．-150° D．-390° 【答案】D 【详解】 与330°角的终边相同的角为， 当时， ， 故选：D 2．（2021·银川三沙源上游学校高一月考（文））在0°~360°范围内，与－690°角的终边相同的角是（ ） A．150° B．210° C．30° D．330° 【答案】C 【详解】 令， 则 ， 令，得，