第17讲 导数的应用（利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题）-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习讲义（基础版，全国通用版）

第17讲 导数的应用（利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题） 一般地，若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． 若，使成立，则只需；若，使成立，则只需．由此构造不等式，求解参数的取值范围． 1．（2021·山西柳林·高二期中（理））已知函数. （1）当时，恒成立，求的取值范围； （2）若为负实数，求函数的单调性. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【详解】 解：（1）当时，的定义域为， 则， 由得， 1 - 0 + 减函数 极小值0 增函数 恒成立，所以. （2）的定义域为， ， ①，即时， 由得：或， 由得：. 所以在，上递增，在上递减； ②，即时，，所以在上递增； ③，即时， 由得：或， 由得：. 所以在，上递增，在上递减， 综上可知： 当时，在，上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在，上递增，在上递减. 2．（2021·广东东莞·高二期末）已知函数. （1）求函数的极值； （2）若对任意的都有成立，求的取值范围. 【答案】（1）极大值，极小值；（2）. 【详解】 （1）因为，所以，. 令，解得或， 当，即或；当，即，. 故的单调递增区间为和，单调递减区间为，. 所以，时，有极大值，. 当时，有极小值. （2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，. 又，，. 所以时，，. 因为对任意的都有成立，所以. 3．（2021·江苏秦淮·南京一中高二期中）已知函数. （1）求函数的单调区间与极值； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为，；的极大值为，极小值；（2） 【详解】 解：（1）因为 所以， 令，解得：或， 令，解得：， 故函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，； 故的极大值为，极小值； （2）由（1）知在，上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增， 又，， ， ， 对，恒成立， ，即， ． 4．（2021·重庆市南坪中学校）设函数，． （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）如果函数的图象恒在直线的上方，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【详解】 （1）当时，， ，则， 又， ∴所求切线方程为，即； （2）依题意，恒成立，即， 设，则. ①当时，，因此在上单调递减，而，所以不成恒成立，不能满足题意； ②时， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ∴函数在处取得最小值， 即， 而， 解得 ∴． 5．（2021·全国高二专题练习）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，均有不等式成立，求的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【详解】 （1）∵， ∴， 又， ∴所求切线方程为，即． （2）当时，，即恒成立， 设，， 当时，，递减； 当时，，递增． ∴， ∴， 的最大值为． 6．（2021·全国高三专题练习）已知函数(为实数). （1）若，求的最小值； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】 （1）当时，，. 由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则函数的最小值为. （2）由题得，若恒成立，则，即恒成立. 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 故的取值范围为. 7．（2021·安徽安庆·高三月考（文））已知函数． （1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）若在区间，内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【详解】 解：（1）时，，， 曲线在点，（1）处的切线斜率:（1）， 故曲线在点，（1）处的切线方程为：， 所求切线方程为：； （2）， ①当即时，，在，上为单调增函数， 此时，（1），解得：，与矛盾，不符合题意， ②当即时，，，的变化如下： ， ， 0 递减 极小值 递增 此时，，解得： ，与矛盾，不符合题意， ③当即时，，在，上为单调减函数 ，解得：，又，， 综上：实数的取值范围是． 8．（2021·河北邢台·高二月考）已知函数，． （1）求的单调区间； （2）若，，，求的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）. 【详解】 （1）． 在和上，，单调递增． 在上，，单调递减． 综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）由（1）可知，在和上单调递增，在上单调递减． 又，，，． 所以在上，． 又． 所以在上，，， 即． 因为，，， 所以解得． 故的取值范围是． 9．（2021·安徽高二月考（理））已知函数 （1）若函数与有公共点，求的取值范围； （2）若不等式恒成立，求整数的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值为. 【详解】 解：（1）令，即，则， 函数与有公共点，即有解. 令，则. 令