第15讲 导数的应用（导数与函数的极值，最值）-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习讲义（基础版，全国通用版）

第15讲 导数的应用（导数与函数的极值，最值） 1．极值点与极值 (1)极小值点与极小值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． (2)极大值点与极大值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值 ． 特别提醒： （1），不一定是极值点 （2）只有且两侧单调性不同 ，才是极值点. (3)求极值点，可以先求的点，再列表判断单调性. 2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方程的根 （3）用方程的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况 若左正右负，则为极大值； 若 左负右正，则为极小值； 若 左右同号，则无极值。 3.最大值: 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1）对于任意的，都有; （2）存在，使得 那么，称是函数的最大值 4.最小值: 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1）对于任意的，都有; （2）存在，使得 那么，称是函数的最小值 题型一：求极值 1．（2021·全国高二课时练习）函数的极小值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】 f′(x)＝－1＋2x＝2，令f′(x)＝0，得x＝． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 极小值 单调递增 当x＝时，f(x)有极小值． 故选：B． 2．（2021·全国高二课时练习）函数在区间上的极大值为（ ） A． B． C．－1 D．0 【答案】C 【详解】 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ －1. 令f′(x)＝0，得x＝1. 当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0， 故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1. 故选：C 3．（2021·河南新乡县一中（文））已知函数，则的极大值为（ ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【详解】 因为，所以在，上单调递增，在[0，1]上单调递减， 所以的极大值为. 故选：D 4．（2021·江苏沭阳·高二期中）函数的极大值为（ ） A．18 B．21 C．26 D．28 【答案】D 【详解】 函数的定义域为，求导，令，解得：， 极大值 极小值 所以当时，函数有极大值 故选：D. 5．（2021·福建南平·高二期末）已知是函数的极小值点，则函数的极小值为（ ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】 由题意，函数，可得， 因为是函数的极小值点， 则，即，解得，可得， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当是函数的极小值点， 所以函数的极小值为. 故选：B. 6．（2021·山西省古县第一中学高二期中（理））已知函数的极大值和极小值分别为，，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【详解】 解：，当时，该方程两个根为， 或，， 故在取到极大值、极小值，且， . 故选：D. 7．（2021·全国高二课时练习）函数在上的极大值为（ ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】 由可得 当时，单调递增 当时，单调递减 所以函数在上的极大值为 故选：A 8．（2021·全国高二课时练习）已知函数极值点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】 解：由，可得， 由，可得，令，可得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 故可得函数存在一个极值点， 故选：B. 题型二：根据极值求参数 1．（2021·西藏日喀则区南木林高级中学高二期末（文））函数，已知在时取得极值，则等于（ ） A．2 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】 由题意，，且， ∴，可得. ∴， 当，有或，则、上递增； 当，有，则上递减； ∴是的极值点. 综上，. 故选：B 2．（2021·安徽师范大学附属中学高二期中（文））函数在处有极值10，则的值为（ ） A．，，或， B．，，或， C．， D．， 【答案】C 【详解】 因为，所以， 由题意可得：，解得：或. 当时，， 在x=1的左右两侧正负相反，所以在处有极值，符合题意； 当时，恒成立， 所以在处无极值，应舍去； 故选：C 3．（20