第13章 小专题集训七 聚焦全等三角形的常用辅助线-2021-2022学年八年级上册初二数学【导与练】初中同步学习活页检测卷（华东师大版）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b zxxk. com 您身边的互联网+教辅专家 小专题集训七聚焦全等 三角形的常用辅助线 1~9略 独家授权侵权必究 学科网书坻 品牌书店·知名教辅·正版资源 b zxxk. com 您身边的互联网+教辅专家 关注有礼 学科网中小学资源库 口溶觉 扫码关注 可免费领取180套PPT教学模版 令海量教育资源一触即达 ☆新鲜活动资讯即时上线 学利网 独家授权侵权必究小专题集训七　聚焦全等三角形的常用辅助线 连结两点构造全等三角形 1.如图所示,在四边形ABCD中,AD=CB,AB=DC. 求证:AB∥DC,AD∥BC. 证明:如图所示,连结AC.在△ABC和△CDA中, 因为AD=CB,AB=DC, AC=CA,所以△ABC≌△CDA(S.S.S.). 所以∠BAC=∠DCA,∠ACB=∠CAD. 所以AB∥DC,AD∥BC. 2.某产品的商标如图所示,O是线段AC,DB的交点,且AC=BD,AB=DC,小华认为图中的两个三角形全等,他的思考过程是: 因为AC=DB,∠AOB=∠DOC,AB=DC, 所以△ABO≌△DCO. 你认为小华的思考过程对吗?如果正确,指出他用的是判别三角形全等的哪个条件;如果不正确,说明理由并写出正确的思考过程. 解:小华的思考过程不正确. 因为AC和BD不是这两个三角形的边. 正确的思考过程:连结BC. 在△ABC和△DCB中, 因为AB=DC,AC=DB, BC=CB, 所以△ABC≌△DCB(S.S.S.). 所以∠A=∠D. 在△AOB和△DOC中, 因为∠A=∠D,∠AOB=∠DOC,AB=DC, 所以△AOB≌△DOC(A.A.S.) 倍延中线构造全等三角形 3.如图所示,AD是△ABC的中线,AB=6,AC=8,求AD的取值范围. 解:如图所示,延长AD到点E,使ED=AD, 连结BE. 因为∠BDE=∠CDA, BD=CD, 所以△ACD≌△EBD(S.A.S.). 所以AC=EB=8. 因为AE<AB+EB, 所以2AD<AC+AB. 因为EB-AB<AE, 所以AC-AB<2AD. 所以AC-AB<2AD<AC+AB. 所以8-6<2AD<8+6. 所以1<AD<7. 所以AD的取值范围是1<AD<7. 4.已知:如图所示,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,AB=CD, ∠BAD=∠BDA. 求证:AC=2AE. 证明:延长AE至F,使FE=AE,连结BF. 因为AE是△ABD的中线, 所以BE=DE. 在△BEF和△DEA中, 因为FE=AE,∠FEB=∠AED,BE=DE, 所以△BEF≌△DEA(S.A.S.). 所以∠EBF=∠BDA,BF=DA. 因为∠BAD=∠BDA, 所以∠EBF=∠BAD. 因为∠ADC=∠ABD+∠BAD,∠FBA=∠ABD+∠EBF, 所以∠ADC=∠FBA. 在△ADC和△FBA中, 因为CD=AB,∠ADC=∠FBA,DA=BF, 所以△ADC≌△FBA(S.A.S.). 所以AC=AF. 因为AF=AE+FE=2AE,所以AC=2AE. 截长构造全等三角形 5.如图所示,在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点.求证:AB-AC>PB-PC. 证明:如图所示,在AB上截取AE,使AE=AC,连结PE. 在△AEP和△ACP中, 因为AP=AP,∠1=∠2, AE=AC, 所以△AEP≌△ACP(S.A.S.). 所以PE=PC. 因为在△PBE中,BE>PB-PE, 所以AB-AE>PB-PC. 所以AB-AC>PB-PC. 延长垂线段构造全等三角形 6.在△ABC中,AE是∠CAB的平分线,BE⊥AE于点E.求证:∠ABE= ∠CBE+∠C. 证明:延长BE交AC于点D, 则∠AEB=∠AED=90°. 因为AE是∠CAB的平分线, 所以∠BAE=∠DAE. 在△ABE和△ADE中, 因为∠BAE=∠DAE,AE=AE, ∠AEB=∠AED, 所以△ABE≌△ADE(A.S.A.). 所以∠ABE=∠ADE. 因为∠ADE=∠CBE+∠C, 所以∠ABE=∠CBE+∠C. 7.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD是∠ABC的平分线,BD⊥CE于点E.求证:BD=2CE. 证明:如图所示,延长CE交BA的延长线于点O, 则∠BEC=∠BEO=90°. 因为BD是∠ABC的平分线, 所以∠EBC=∠EBO. 在△BCE和△BOE中, 因为∠BEC=∠BEO,BE=BE,∠EBC=∠EBO, 所以△BCE≌△BOE(A.S.A.). 所以CE=OE. 所以CO=2CE. 因为∠BAC=90°, 所以∠OAC=90°. 所以∠BAC=∠OAC. 所以∠A