专题16 圆锥曲线常考题型04——定值问题-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题17 圆锥曲线常考题型04——定值问题 圆锥曲线中的定值问题是圆锥曲线问题中的另一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值． 1．过抛物线的焦点为且斜率为的直线交曲线于，、，两点，交圆于，两点，两点相邻）．求证：为定值； 2．已知椭圆的左、右顶点分别为、，设是曲线上的任意一点． 当点异于、时，直线，的斜率分别为，，则是否为定值？请说明理由； 3．椭圆，的离心率，点在上． （1）求椭圆的方程； （2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值． 4．已知抛物线与双曲线有相同的焦点． （1）求的方程，并求其准线的方程； （2）过且斜率存在的直线与交于不同的两点，，，，证明：，均为定值． 5．已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，且的离心率为． （1）求与的方程； （2）若，直线与交于，两点，且直线，的斜率都存在． ①求的取值范围； ②试问两直线，的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 6．设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值． 7．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由． 8．已知抛物线的准线过点． （1）求抛物线的标准方程； （2）过点作直线交抛物线于，两点，证明：为定值． 9．已知平面上的动点及两定点，，直线，的斜率分别是，且． （1）求动点的轨迹的方程； （2）设直线与曲线交于不同的两点，． ①若为坐标原点），证明点到直线的距离为定值，并求出这个定值 ②若直线，的斜率都存在并满足，证明直线过定点，并求出这个定点． 10．如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点． （Ⅰ）求椭圆的方程． （Ⅱ）若直线交轴于点，且，，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由． 11．已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为3，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）试探究，的横坐标的乘积是否为定值，说明理由． 12．已知椭圆，、分别是椭圆短轴的上下两个端点；是椭圆的左焦点，是椭圆上异于点、的点，△是边长为4的等边三角形． （Ⅰ）写出椭圆的标准方程； （Ⅱ）设点满足：，．求证：△与△的面积之比为定值． 13．给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”．若椭圆的离心率，点在上． 求椭圆的方程和其“卫星圆”方程； （Ⅱ）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线，，使得，与椭圆都只有一个交点，且，，分别交其“卫星圆”于点，，证明：弦长为定值． 14．已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率，过点的直线交椭圆于、两点，的周长为16． （1）求椭圆的方程； （2）已知为原点，圆与椭圆交于、两点，点为椭圆上一动点，若直线、与轴分别交于、两点，求证：为定值． 15．已知椭圆的两个焦点分别为，，，，以椭圆短轴为直径的圆经过点． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆相交于、两点，设点，记直线，的斜率分别为，，问：是否为定值？并证明你的结论． 16．如图，椭圆经过点，且离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点，（均异于点，问直线与的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 17．已知直线与椭圆相交于，两点，是椭圆上一点 （Ⅰ）当时，求面积的最大值； （Ⅱ）设直线和与轴分别相交于点，，为原点．证明：为定值． 18．如图，已知点是抛物线上一点，过点作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于、两点，直线的斜率为． （Ⅰ）若直线、恰好为圆的切线，求直线的斜率； （Ⅱ）求证：直线的斜率为定值．并求出当为直角三角形时，的面积． 19．已知椭圆的两个焦点是，，点，在椭圆上，且 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别相交于点，，为原点．证明：为定值． 20．椭圆焦点在轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，的面积，则是否为定值，若是求出定