专题15 圆锥曲线常考题型03——定点问题-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题15 圆锥曲线常考题型03——定点问题 圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，而这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个点，就是要求的定点．求解这类难点问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 1．如图，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，直线与抛物线交于，，，两点，且，，为坐标原点）． （1）求抛物线的方程； （2）求证：直线过定点． 2．已知抛物线． （1）若与圆在第一象限内交于，两点，求直线的方程； （2）直线过点交于，两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定点． 3．设，和，是抛物线上的两点，且． （Ⅰ）若，求直线的方程； （Ⅱ）证明：当点，在上运动时，线段的垂直平分线过定点． 4．已知曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小1． （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，以线段为直径的圆过点，求证：直线过定点． 5．如图，过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线于，两点． （1）求抛物线的标准方程和准线方程； （2）若，证明：直线恒过定点． 6．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8． （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程； （Ⅱ）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点． 7．已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为． （1）求； （2）已知直线与相交于，两点，过点作平行于轴的直线交直线于点．问：直线是否过轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由． 8．已知直线与抛物线相交于，两点，满足．定点，，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，． （1）求抛物线的方程； （2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标． 9．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到直线距离为，且，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知斜率之和为的两条直线，相交于点，直线，与曲线分别相交于，，，四点，且线段、线段的中点分别为，，问：直线是否过定点？若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线，交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标． 11．已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等． （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，且．求证：直线过定点． 12．已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点． （1）求双曲线的方程； （2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线分别交于，两点，异于点，若，试判断直线是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由． 13．设是椭圆上异于长轴顶点，的任意一点，过作的切线与分别过，的切线交于，两点．已知，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）以为直径的圆是否过轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由． 14．设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，设点，在△中，，周长为． （1）求椭圆的方程； （2）设不经过点的直线与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 16．已知斜率为的直线经过点与抛物线，为常数）交于不同的两点，，当时，弦的长为． （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由． 17．过点的动直线与抛物线相交于、两点，已知当的斜率为时，． （1）求抛物线的方程； （2）设圆，已知，是抛物线上的两动点，且直线，都与圆相切是坐标原点），求证：直线经过一定点，并求出该定点坐标． 18．从抛物线上任意一点向轴作垂线段，垂足为，点是线段上的一点，且满足． （1）求点的轨迹的方程； （2）设直线与轨迹交于，两点，为上异于，的任意一点，直线，分别与直线交于，两点，以为直径的圆是否过轴上的定点？若过定点，求出符合条件的所有定点坐标；若不过定点，请说明理由． 19．已