第2练 勾股定理的逆定理(拔尖练习)-【多维练】2021-2022学年八年级数学上学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)

第2练 勾股定理的逆定理(拔尖练习) 1．（2021春•钦州期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（　　） A．16 B．17 C．25 D．64 【分析】直接根据题意分别得出由8生成的勾股数”的“弦数”进而得出答案． 【详解】解：∵由8生成的勾股数”的“弦数”记为A， ∴（）2＝16，16﹣1＝15，16+1＝17， 故A＝17， 故选：B． 2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．t＝　2s或s　时△ABP为直角三角形． 【分析】当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16， ∴BC＝4cm， 由题意知BP＝2tcm， ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即2t＝4，t＝2； ②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣4）cm，AC＝3cm， 在Rt△ACP中， AP2＝32+（2t﹣4）2， 在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2， 即：52+[32+（2t﹣4）2]＝（2t）2， 解得：t＝， 故当△ABP为直角三角形时，t＝2或t＝， 故答案为：2s或s 3．已知：如图，点P是等边三角形ABC内一点，，求∠BPC的度数． 【分析】以BP边作等边三角形BPD，连接AD，根据等边三角形的每一个角都等于60°推出∠ABD＝∠CBP，然后利用边角边证明△ABD与△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CP＝1，对应角相等可得∠BPC＝∠BDA，再利用勾股定理逆定理证明△ADP是∠ADP＝90°的直角三角形，从而求出∠ADB的度数，即∠BPC的度数． 【详解】解：以BP为边作等边三角形BPD，连接AD， 则BD＝BP＝DP＝，∠DBP＝∠BDP＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝60°， ∵∠ABD+∠ABP＝∠CBP+∠ABP＝60°， ∴∠ABD＝∠CBP， 在△ABD与△CBP中，， ∴△ABD≌△CBP（SAS）， ∴∠BPC＝∠BDA，AD＝PC＝1， 在△ADP中，∵PA＝2，PD＝，AD＝1， ∴AP2＝DP2+AD2， ∴△APD是直角三角形， ∴∠ADP＝90°， ∴∠ADB＝∠ADP+∠BDP＝150°， ∴∠BPC＝150°． 4．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、　60　、　61　； （2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4＝，12＝，24＝…，于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为　　； （3）用所学知识加以说明． 【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61； （2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一； （3）依据勾股定理的逆定理进行证明即可． 【详解】解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…， ∴11，60，61； 故答案为：60，61； （2）第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为， 则用含a的代数式表示第三个数为， 故答案为：； （3）∵a2+（）2＝， （）2＝， ∴a2+（）2＝（）2 又∵a为奇数，且a≥3， ∴由a，，三个数组成的数是勾股数． 5．如果△ABC的三边分别为a、b、c， （1）求证：a2+c2﹣2ac＜b2 （2）当a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4时，试判断△ABC的形状． 【分析】（1）方法一：作CD⊥AB于D．在Rt△ACD中，b2＝CD2+AD2，在Rt△CDB中，CD2＝a2﹣BD2，推出b2＝a2﹣BD2+（c