第1练 勾股定理(培优练习)-【多维练】2021-2022学年八年级数学上学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)

第1练 勾股定理(培优练习) 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上且AD＝BD，M是BD的中点，若AC＝16，BC＝8，则CM等于（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【分析】根据勾股定理得出BD，进而利用直角三角形的性质详解即可． 【详解】解：设BD＝x，则CD＝AC﹣AD＝AC﹣BD＝16﹣x， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD2＝BC2+CD2， 即：x2＝82+（16﹣x）2， 解得：x＝10， ∴BD＝10， ∵M是BD的中点， ∴CM＝5， 故选：A． 2．（2021•贵港）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】如图，取BC的中点T，连接AT，ET．首先证明∠CEB＝90°，求出AT，ET，根据AE≥AT﹣ET，可得结论． 【详解】解：如图，取BC的中点T，连接AT，ET． ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠CBD＝90°， ∵∠ABD＝∠BCE， ∴∠CBD+∠BCE＝90°， ∴∠CEB＝90°， ∵CT＝TB＝6， ∴ET＝BC＝6，AT＝＝＝10， ∵AE≥AT﹣ET， ∴AE≥4， ∴AE的最小值为4， 故选：B． 3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（　　） A．8 B．6 C．4 D．3 【分析】利用整体代入的思想求出（a﹣b）2的值即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴小正方形的面积＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝16﹣12＝4， 故选：C． 4．如图：在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB过于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是　　． 【分析】过A点作AF⊥BC于F，连接AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得S△ABC＝S△ABP+S△ACP，代入数值，详解出即可． 【详解】解：过A点作AF⊥BC于F，连接AP，如图． ∵△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12， ∴BF＝FC＝BC＝6， ∴△ABF中，AF＝＝＝8， ∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP， ∴×12×8＝×10×PD+×10×PE， ∴48＝×10×（PD+PE）， PD+PE＝． 故答案为． 5．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝　2.5　． 【分析】设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，由a2+b2＝c2，可得S△ABD+S△ACE＝S△BCF，由此构建关系式，可得结论． 【详解】解：∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形， ∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF， 设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n， ∵a2+b2＝c2， ∴S△ABD+S△ACE＝S△BCF， ∴S1+m+n+S4＝S2+S3+m+n， ∴S4＝3.5+5.5﹣6.5＝2.5 故答案为：2.5． 6．在△ABC中，AB＝4，∠A＝30°，AC＝3，点O是△ABC内一点，则点O到△ABC三个顶点的距离和的最小值是　5　． 【分析】分别以OA和AB边向外作等边三角形ABD和AOE，连接OC，OB，ED，CD，证明△AED≌△AOB可得DE＝OB，当点C，O，E，D四点共线时，OE+DE+OC的值最小，此时OA+OB+OC＝OE+DE+OC＝CD，再根据勾股定理即可求得结论． 【详解】解：如图，分别以OA和AB边向外作等边三角形ABD和AOE，连接OC，OB，ED，CD， ∵△ABD和△AOE都是等边三角形， ∴AE＝AO，AD＝AB，∠OAE＝∠BAD＝60°， ∴∠DAE＝∠BAO， 在△AED和△AOB中， ， ∴△AED≌△AOB（SAS）， ∴DE＝OB， ∴OA+OB+OC＝OE+DE+OC， 当点C，O，E，D四点共线时，OE+DE+OC的值最小， 此时OA+OB+OC＝OE+DE+OC＝CD， ∵∠BAC＝30°，∠BAD＝60°， ∴∠DAC＝90°，又AB＝4，AC＝3， 在Rt△ADC中，CD＝＝＝5． 故答案为：5． 7．如图所示，折叠长方形一边AD，使点D落在BC边的点F处，