第1练 勾股定理(拔尖练习)-【多维练】2021-2022学年八年级数学上学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)

第1练 勾股定理(拔尖练习) 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D． 【分析】作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，则PQ＝PQ′，利用点到直线垂直线段最短可得出当CQ′⊥AB，点P为CQ′与AD的交点时，PC+PQ′取得最小值，最小值为CQ′，再利用面积法可求出CQ′的值，进而可得出PC+PQ的最小值． 【详解】解：作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，如图2所示. ∵AD平分∠BAC， ∴点Q′在直线AB上，PQ＝PQ′， ∴PC+PQ＝PC+PQ′， ∴当CQ′⊥AB，点P为CQ′与AD的交点时，PC+PQ′取得最小值，最小值为CQ′． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝10， ∴AC•BC＝AB•CQ′，即×6×8＝×10•CQ′， ∴CQ′＝， ∴PC+PQ的最小值为． 故选：D． 2．如图中，图1图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车外围周长（图2中的实线）是　76　． 【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个． 【详解】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则 x2＝122+52＝169， 所以x＝13． 所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76． 故答案为：76． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，D是BC上一点，且AD＝1，则BD•DC＝　2　． 【分析】过A点作AE⊥BC于E，根据勾股定理和线段相互间的关系可得AB2＝AD2+BD•CD，再把数据代入计算即可求解． 【详解】解：过A点作AE⊥BC于E，则 ∵AB2＝AE2+BE2 ＝AD2﹣DE2+BE×CE ＝AD2﹣DE2+（BD﹣DE）（CD+DE） ＝AD2﹣DE2+BD•CD+BD•DE﹣CD•DE﹣DE2 ＝AD2+BD•CD﹣DE2×2﹣CD•DE+（CD+2DE）*DE ＝AD2+BD•CD， ∴BD•CD＝AB2﹣AD2＝3﹣1＝2． 故答案为：2． 4．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338＝10a+24b+26c．试判断△ABC的形状． 【分析】把已知的式子变形，利用完全平方公式分组因式分解，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求出a、b、c的数值，再进一步探讨得出答案即可． 【详解】解：由a2+b2+c2+338＝10a+24b+26c， 得：（a2﹣10a+25）+（b2﹣24b+144）+（c2﹣26c+169）＝0， 即：（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2＝0， a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0 解得a＝5，b＝12，c＝13， ∵52+122＝169＝132，即a2+b2＝c2， ∴∠C＝90°， 即三角形ABC为直角三角形． 5．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2． 证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣A ∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+aB． 又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a） ∴b2+ab＝c2+a（b﹣a） ∴a2+b2＝c2 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2． 证明：连接　BD　，过　点B作DE边上的高BF　，则　BF＝b﹣a　， ∵S五边形ACBED＝　S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab　， 又∵S五边形ACBED＝　S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a）　， ∴　ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a）　， ∴　a2+b2＝c2　． 【分析】首先连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证． 【详解】证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a， ∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab 又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a）