第18讲 反比例函数的应用-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第18讲 反比例函数的应用 SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点 一、利用反比例函数解决实际问题 1. 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 2. 一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系 数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 二、反比例函数在其他学科中的应用 1. 当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； 2. 当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； 3. 在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； 4. 电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 【知识拓展1】反比例函数和一次函数综合 例1． 如图，直线 与双曲线 （k为常数，k≠0）交于A，D两点，与x轴、y轴分别交于B，C两点，点A的坐标为（m，2）． （1）求反比例函数的解析式． （2）结合图象直接写出当 时，x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为 ；（2）当 时，x＜-2或0＜x＜1 【分析】（1）将点A的坐标为（m，2）代入一次函数解析式中,即可求出m，从而得出点A的坐标，然后将点A的坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论； （2）结合图象即可得出结论． 解：（1）点A的坐标为（m，2）代入一次函数解析式 中,得2=m＋1 解得：m=1 ∴点A的坐标为（1，2） 将点A的坐标代入反比例函数解析式 中，得 解得：k=2 ∴反比例函数的解析式为 ； （2）联立 解得： 或 （此时符合点A的坐标，故舍去） ∴点D的坐标为（-2，-1） 由函数图象可知：在点D的右侧和y轴与点A之间，一次函数图象在反比例函数图象下方 ∴当 时，x＜-2或0＜x＜1． 【点拨】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式和利用图象和函数值的大小关系，求自变量的取值范围是解题关键． 【变式】.已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y= 图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣ ＞0的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣ ，一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2． 试题分析：（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算； （3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集． 解：（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8，所以反比例函数解析式为，把B（n，﹣4）代入，得﹣4n=﹣8，解得n=2，把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：，所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2； （2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6； （3）由图可得，不等式的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式． 【知识拓展2】反比例函数的几何综合 例2． 如图，A（4，3）是反比例函数y= 在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y= 的图象于点P． （1）求反比例函数y= 的表达式； （2）求点B的坐标； （3）求△OAP的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为y= ；（2）点B的坐标为（9，3）；（3）△OAP的面积=5． 【分析】（1）将点A的坐标代入解析式求解可得； （2）利用勾股定理求得AB=OA=5，由AB∥x轴即可得点B的坐标； （3）先根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，再利用割补法求解可得． 解：（1）将点A（4，3）代入y= ，得：k=12， 则反比例函数解析式为y= ； （2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C， 则OC=4、AC=3，∴OA= =5， ∵AB∥x轴，且AB=OA=5，∴点B的坐标为（9，3）； （3）∵点B坐标为（9，3），∴OB所在直线解析式为y= x， 由 可得点P坐标为（6，2），（负值舍去）， 过点P作PD⊥x轴，延长DP交