第17讲 反比例函数图象与性质-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第17讲 反比例函数图象与性质 1. 理解反比例函数的概念，会用待定系数法、数形结合法求反比例函数解析式； 2. 熟练掌握反比例函数的图像和性质，会解相关题目； 3. 能运用一次函数和反比例函数综合知识，解相关综合题. SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点 1.反比例函数的概念：一般地， （k为常数，k≠0）叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。 （x为自变量，y为因变量，其中x不能为零） 2.反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数 ←→ ←→ ←→ ←→ 变量y与x成反比例，比例系数为k. 3.判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值<即 >。（通常第二种方法更适用） 4.反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线 反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的； ②选取的点越多画的图越准确； ③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）。 5.反比例函数性质： ①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； ②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大； ③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴相交。 6.反比例函数图象的几何特征:(如图4所示) 点P(x,y)在双曲线上都有 SHAPE \* MERGEFORMAT 【知识拓展1】反比例函数的定义及应用 例1.（2019·湖南澧县·初三月考）已知函数y = y1 +y2，y1与x成反比例，y2与x-2成正比例，且当x =1时，y = -1,当x = 3时，y = 3. 求y关于x的函数解析式. 【答案】 【解析】解：∵y=y1+y2，其中y1与x成反比例，y2与（x-2）成正比例， ∴设出y1=，y2=k2（x-2），（k1≠0，k2≠0），则y=+k2（x-2）， 把当x=1时，y=-1；x=3时，y=3代入得： 解得： . 方法或规律点拨：本题考查待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法． 【知识拓展2】确定反比例函数解析式 例2.（2019·广东深圳实验学校初三开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将矩形绕点逆时针旋转，使点落在轴的点处，得到矩形，与交于点． （1）求图象经过点的反比例函数的解析式； （2）设（1）中的反比例函数图象交于点，求出直线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】解：（1）∵∠OGA=∠M=90°，∠GOA=∠MON ∴△OGA∽△OMN， ∴ ∴ ， 解得AG=1． 设反比例函数，把A（1，2）代入得k=2， ∴过点A的反比例函数的解析式为：． （2）∵点B的横坐标为4，x=4代 中，故（4，） 设直线AB的解析式y=mx+n，把A（1，2）、B（4，）代入， 得 ， 解得 ． ∴直线AB的解析式． 方法或规律点拨：本题主要考查相似三角形的判定与性质，能够运用待定系数法求得函数的解析式，根据函数的解析式确定点的坐标． 【知识拓展3】反比例函数增减性的应用 例3.（2020·河北青龙·月考）已知反比例函数 （ 为常数，且 ）． （1）若在其图象的每一个分支上， 的值随 的值增大而减小，求 的取值范围； （2）若点 在该反比例函数的图象上． ①求 的值； ②当 时，直接写出 的取值范围． 【答案】（1） 的取值范围为 ；（2）① 的值为6；② 的取值范围为 ． 【解析】解：（1）∵在图象的每一个分支上，的值随的值增大而减小， ∴， ∴； （2）①∵点在该反比例函数图像上， ∴， ∴， ②反比例函数解析式为， 当时，， 由图可得，当时，． 方法或规律点拨：本题考查了反比例函数图象的性质、待定系数法求解析式，求函数的取值范围时，数形结合是关键. 【知识拓展4】由图形面积求比例系数 例4.（2020·浙江北仑·）如图，已知点A（2，m）是反比例函数y＝ 的图象上一点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连结OA，△ABO的面积为6． （1）求k和m的值； （2）直线y＝2x+a（a≤0）与直线AB交于点C与反比例函数图象交于点E，F； ①若a＝0，已知E（p，q），则F的坐标为　 　（用含p，q的坐标表示）； ②若a＝﹣2．求AC的长． 【答案】（1）k＝12，m＝6；（2）①（﹣p，﹣q）；②4． 【解析】解：（1）∵点A（2，m）是反比例函数y＝ 的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B， ∴S△AOB＝ |k|＝6， ∴|k|＝2×6＝12， ∵图象在第一、三象限，∴k＝12， ∴反比例函数为y＝ ， ∴2m＝12，解得：m＝6； （2）①若a＝0，则y＝