第15讲 位似图形-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第15讲 位似图形 1.了解图形的位似,利用位似可以将一个图形放大或缩小. 2.能准确地利用图形的位似将一个图形放大或缩小，了解常用的几何图形放大或缩小的数学依据. 3.掌握位似图形的性质. SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点 1.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比. 2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 3.位似变换: ①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心. ②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形. ③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小. 【知识拓展1】判定位似图形 例1．（1）下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、B和C中的两个图形都是位似图形， A中的位似中心是点C， B中的位似中心是点O， C中的位似中心是点O. 只有选项D的对应顶点的连线相不交于一点，对应边不互相平行，故D不是位似图像. 故选D． （2）如图是与 位似的三角形的几种画法，其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：由位似图形的画法可得：4个图形都是 的位似图形． 故选：D． （3）下列各组图形中的两个三角形均满足 ，这两个三角形不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形； B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形． 故选：B． 【知识拓展2】确定位似中心 例2．（1）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（　　） A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4） 【答案】B 【详解】如图，连接BF交y轴于P， ∵矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，点B、F为对应点， ∴点P为位似中心， ∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）， ∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），BC=4，GF=2，OG=1， ∴CG＝3， ∵BC∥GF， ∴△BCP∽△FGP， ∴ ＝ ＝ ，PC=CG-PG， 解得：GP＝1， ∴OP=OG+GP=2， ∴点P的坐标为（0，2）， 故选：B． （2）图中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（　　　） A．点P B．点Q C．点R D．点S 【答案】A 【详解】解：如图所示：图中的两个三角形的位似中心是点P． 故选：A． 【知识拓展3】与位似图形有关的计算 例3．（1）如图，以点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A′B′C′．以下说法错误的是（ ） A．△ABC∽△A′B′C′ B．点C，O，C′三点在同一条直线上 C．AB∥A′B′ D．AO：AA′＝1：2 【答案】D 【详解】解：∵点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C，OA：OA′＝1：2，AB∥A′B′，CC′经过点O． 故选：D． （2）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且AB：DE＝3：2，则△ABC的面积与△DEF面积之比为（ ） A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．9：5 【答案】C 【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O， ∴△ABC∽△DEF， ∵AB：DE＝3：2， ∴ ． 故选：C． 【知识拓展4】平面直角坐标系中的位似图形计算 例4．（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE是位似图形，坐标原点O是位似中心，若五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的面积之比为9：1，且线段OA1＝9，则线段OA的长度为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】∵五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE是位似图形，五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的面积之比为9：1 ∴ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵OA1＝9 ∴ 故选：A． （2）如图，在直角坐标系中， 的顶点为 ， ， ，以点 为位似中心，在第一象限内作与 的位似比为 的位似图形 ，则点 的坐标为（ ） A．